Ceros y polos. ● Ahora supongamos que y son p(z) q(z) funciones analíticas y: , y entonces es un polo simple y la razón tiene como residuo p(z)/q(z) Teoría de los residuos Resumen (método básico para encontrar los polos y residuos): Supongamos que tenemos la serie de Laurent Notamos que es un polo de orden k.  Además, Teoría de los residuos Entonces si multiplicamos por f(z) tenemos que Teoría de los residuos Ahora, supongamos que sabemos el orden k del polo (por ejemplo usando el método anterior). Entonces considerando la función tenemos que De aquí que derivando k-1 veces: Teoría de los residuos O bien, sustituyendo , tenemos g(z) Cuando es un polo simple, el resultado anterior se reduce a: Aplicaciones de la teoría de los residuos La teoría de residuos tiene muchas ● aplicaciones en matemáticas aplicadas y física Por ejemplo, está teoría es muy útil para calculo de varios tipos de integrales reales. Por mencionar dos ejemplos: integrales de la forma: ● e integrales impropias ● Aplicaciones de la teoría de los residuos Integrales impropias ● En Cálculo la integral impropia de una función continua se define como Cuando los límites existen se dice que la integral converge Aplicaciones de la teoría de los residuos O bien, y cuando los límites existen se dice que la integral converge. Comentario: los límites pueden existir, pero la ● integral impropia no. Aplicaciones de la teoría de los residuos Con este motivo se introduce el valor principal de Cauchy o simplemente, valor principal (VP): siempre que los límites existen. Comentarios: ● - La existencia del valor principal no asegura que la integral impropia sea convergente - Si la integral impropia existe, ésta es igual al valor principal Aplicaciones de la teoría de los residuos El procedimiento utilizado en el ejemplo anterior puede aplicarse a una clase general de integrandos, pues éste depende de dos condiciones: f(z) sea analítica en el eje real y encima de él, ● excepto por un número finito de singularidades aisladas (en la parte superior del plano complejo). ●