Anderson Pereira Otimiza¸c˜ao baseada em confiabilidade: aplica¸c˜ao a treli¸cas espaciais TESE DE DOUTORADO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Programa de P´os–graduac¸˜ao em Engenharia Civil Rio de Janeiro Mar¸co de 2007 Anderson Pereira Otimiza¸c˜ao baseada em confiabilidade: aplica¸c˜ao a treli¸cas espaciais Tese de Doutorado Tese apresentada como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor pelo Programa de P´os–gradua¸c˜ao em Engenharia Civil da PUC–Rio. A´rea de Concentra¸c˜ao: Estruturas Orientador : Prof. Luiz Fernando Martha Co–Orientador: Prof. Luiz Eloy Vaz Rio de Janeiro Marc¸o de 2007 Anderson Pereira Otimiza¸c˜ao baseada em confiabilidade: aplica¸c˜ao a treli¸cas espaciais Tese apresentada como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor pelo Programa de P´os–gradua¸c˜ao em Engenharia Civil da PUC–Rio. Aprovada pela Comiss˜ao Examinadora abaixo assinada. Prof. Luiz Fernando Martha Orientador Departamento de Engenharia Civil — PUC–Rio Prof. Luiz Eloy Vaz Co–Orientador UFRJ Prof. Paulo Batista Gon¸calves PUC–Rio Prof. Raul Rosas e Silva PUC–Rio Prof. Lu´ıs Volnei Sudati Sagrilo COPPE/UFRJ Prof. Jos´e Herskovits Norman COPPE/UFRJ Prof. Jos´e Eugˆenio Leal Coordenador Setorial do Centro T´ecnico Cient´ıfico — PUC–Rio Rio de Janeiro, 22 de Mar¸co de 2007 ´ Todos os direitos reservados. E proibida a reprodu¸c˜ao total ou parcial do trabalho sem autoriza¸c˜ao da universidade, do autor e do orientador. Anderson Pereira Graduou-se em Engenharia Civil na UDESC/Joinville (Uni- versidade do Estado de Santa Catarina) em 2000. Fez curso de mestrado em Estruturas no Programa de P´os–Gradua¸ca˜o em Engenharia Civil da PUC-Rio pelo qual recebeu o t´ıtulo de mestre no ano de 2002. Interesses acadˆemicos em ´areas de pesquisaqueenvolvamotimiza¸c˜aodeestruturas,programa¸ca˜o matem´atica,an´alisen˜ao-linear,an´alisede confiabilidade eele- mentos finitos. Ficha Catalogr´afica Pereira, Anderson Otimiza¸c˜ao baseada em confiabilidade: aplica¸c˜ao a treli¸cas espaciais / Anderson Pereira; orientador: Luiz Fer- nando Martha; co–orientador: Luiz Eloy Vaz. — Rio de Ja- neiro : PUC–Rio, Departamento de Engenharia Civil, 2007. v., 145 f: il. ; 29,7 cm 1. Tese (doutorado) - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil. Inclui referˆencias bibliogr´aficas. 1. Engenharia Civil – Tese. 2. Otimiza¸c˜ao. 3. An´alise N˜ao Linear. 4. An´alise de Sensibilidade. 5. An´alise de Confiabilidade. 6. Programa¸c˜ao Matem´atica. 7. Otimiza¸c˜ao Baseada em Confiabilidade. I. Martha, Luiz Fernando. II. Vaz, Luiz Eloy. III. Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. T´ıtulo. CDD: 624 ` A Jana´ına por tudo. Agradecimentos Aos meus pais, pelo apoio e por todos os gestos de carinho e otimismo. Aos meus orientadores Luiz Eloy Vaz e Luiz Fernando Martha pelo est´ımulo e parceria para a realiza¸c˜ao deste trabalho. Ao amigo Ivan, do TeCGraf (Grupo de Tecnologia em Computa¸ca˜o Gr´afica), pelo apoio, pelas excelentes discuss˜oes e sugest˜oes ao longo deste trabalho. Ao grande amigo Sandoval, pelas sugest˜oes, pelo apoio e pela amizade consolidada ao longo deste trabalho. A todos os amigos e colegas da PUC–Rio, do TeCGraf, do vˆolei de praia e do chope pelos momentos de descontra¸ca˜o, essenciais para a realiza¸ca˜o deste trabalho. A todas as pessoas que, direta ou indiretamente, contribu´ıram para a realiza¸ca˜o deste trabalho. Em especial Galv˜ao, Ataliba, Sar´e, Joabson, Ramires, Maur´ıcio e Pasquetti. Aos professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio, por todos os conhecimentos transmitidos durante a p´os-gradua¸ca˜o. Aos funcion´arios da PUC–Rio e do TeCGraf, pela eficiˆencia e amizade. Em especial `a Ana Roxo, Rita, e Claudinei. ` A minha esposa Jana´ına, pelo carinho, compreens˜ao, paciˆencia e cons- tante apoio que fizeram poss´ıvel a realiza¸ca˜o deste trabalho. Ao CNPq, `a PUC–Rio e ao TeCGraf, pelos aux´ılios concedidos. Resumo Pereira, Anderson; Martha, Luiz Fernando; Vaz, Luiz Eloy. Oti- miza¸c˜ao baseada em confiabilidade: aplica¸c˜ao a treli¸cas es- paciais. Rio de Janeiro, 2007. 145p. Tese de Doutorado — Depar- tamento de Engenharia Civil, Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro. No projeto de estruturas de engenharia h´a, frequ¨entemente, incertezas associadas `as propriedades dos materiais, `as propriedades geom´etricas e aos carregamentos. A maneira mais comum e tradicional para se levar em conta estas incertezas ´e atrav´es da defini¸c˜ao dos valores de projeto como o resultado do produto do valor caracter´ıstico das vari´aveis aleat´orias por um fator parcial de seguran¸ca. Esta solu¸ca˜o, no entanto, falha ao n˜ao permitir a quantifica¸c˜ao da confiabilidade do projeto ´otimo uma vez que um fator grande de seguran¸ca pode n˜ao significar uma confiabilidade mais alta. Para se considerar a natu- reza probabil´ıstica de quantidades como propriedades dos materiais, carrega- mentos, etc., tem-se que identificar e definir estas quantidades como vari´aveis aleat´orias no modelo de an´alise. Desta maneira, a probabilidade de falha (ou a confiabilidade) de uma estrutura sujeita a uma restri¸c˜ao de desempenho na forma de uma fun¸c˜ao de estado limite pode, enta˜o, ser calculada e formulada como uma restri¸ca˜o num problema de otimiza¸c˜ao. Neste trabalho, restri¸c˜oes probabil´ısticas s˜ao incorporadas ao esquema tradicional de otimiza¸ca˜o estru- tural. A formula¸ca˜o e os m´etodos num´ericos para este processo, comumente chamado de otimiza¸c˜ao baseada em confiabilidade, s˜ao descritos. O objetivo principal ´e apresentar um sistema computacional capaz de resolver problemas de otimiza¸ca˜o de forma e de dimens˜oes de treli¸cas espaciais baseado em confia- bilidade.Podemserconsideradas comovari´aveis,determin´ısticasoualeat´orias, as se¸c˜oes transversais, as coordenadas nodais, as propriedades dos materiais (m´odulo de elasticidade e tens˜ao de escoamento) e os carregamentos. De ma- neira a tratar os problemas de instabilidade global s˜ao considerados os efeitos da n˜ao-linearidade geom´etrica no comportamento da estrutura e uma restri¸ca˜o formulada para uma fun¸c˜ao de estado limite associada `a carga de colapso ´e inclu´ıda. Fun¸c˜oes de estado limite referentes aos deslocamentos e `as tens˜oes tamb´em s˜ao consideradas. A flambagem global das barras ´e considerada por meio da carga cr´ıtica de Euler. Palavras–chave Otimiza¸ca˜o. An´alise N˜ao Linear. An´alise de Sensibilidade. An´alise de Confiabilidade. Programa¸ca˜o Matem´atica. Otimiza¸c˜ao Baseada em Confiabilidade. Abstract Pereira, Anderson; Martha, Luiz Fernando; Vaz, Luiz Eloy. Relia- bility based optimization: application to space trusses. Rio de Janeiro, 2007. 145p. PhD Thesis — Department of Engenharia Civil, Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio de Janeiro. Uncertainties associated with random variables, such as, the material proprieties and loads, are inherent to the design of structures. These uncer- tainties are traditionally taken into account in the project before the design by defining design values for the random variables. The design values of the random variables are obtained from statistical properties of the random varia- bles and from partial safety factors. Once these values are defined the variables are treated as deterministic variables in the design process. This approach has been followed in the conventional design optimization and in many design co- des such as the Brazilian code for the design of steel and concrete structures. This simple approach, however, does not allow an estimate of the structural reliability of the resulting project which may have a low (unsafe structure) or a very high (expensive structure) reliability. To overcome this problem a reliability analysis must be incorporated into the traditional design optimiza- tion. Design optimization, incorporating reliability analyses, has been denoted Reliability-BasedDesignOptimization(RBDO).InRBDO,theconstraintsare defined in terms of the probabilities of failure associated with some prescribed failure functions and therefore, it requires, as in the reliability analysis, the definition of the random variables and information about their statistical pro- perties. In this work, RBDO is applied to the shape and sizing optimization of spatialtrussesconsideringgeometricnonlinearities.Theconstraintsconsidered in the RBDO problem are related to the following failure mechanisms: to the global collapse (limit load), to local buckling and yield stress and to servicea- bility conditions (displacement bounds). The algorithms used for solving the optimization problem and for performing the reliability analysis are described. Keywords Optimization. Nonlinear Analysis. Sensitivity Analysis. Reliability Analysis. Mathematical Programming. Reliability Based Design Optimiza- tion. Sum´ario Lista de S´ımbolos, Siglas e Abreviaturas 14 1 Introdu¸c˜ao 20 1.1 Considera¸co˜es Iniciais e Objetivos 20 1.2 Escopo do Trabalho 22 1.3 Revis˜ao Bibliogr´afica 24 2 An´alise N˜ao-Linear Geom´etrica 27 2.1 Coment´arios Iniciais 27 2.2 Comportamento N˜ao-Linear, An´alise e Projeto 27 2.2.1 Fontes de N˜ao-Linearidade 28 2.3 Formula¸c˜ao para a An´alise N˜ao-Linear Geom´etrica de Estruturas Re- ticuladas 29 2.3.1 Descri¸c˜ao do Problema 29 2.3.2 Princ´ıpio dos Deslocamentos Virtuais 30 2.3.3 Montagem das Equa¸co˜es da Estrutura 32 2.4 Aplica¸c˜ao a Elementos de Treli¸ca Espacial 32 2.4.1 Medida de Deformac¸˜ao 33 2.4.2 Medida de Tens˜ao 34 2.4.3 Vetor de For¸cas Internas 34 2.4.4 Matriz de Rigidez 34 2.5 Estrat´egias de Solu¸c˜ao para Problemas N˜ao-Lineares 35 2.5.1 An´alise Incremental-Iterativa 36 2.5.2 Incremento Autom´atico de Carga 39 2.5.3 Estrat´egias de Itera¸c˜ao 41 2.5.4 Crit´erios de Convergˆencia 43 2.6 Determina¸c˜ao dos Pontos Cr´ıticos 44 2.7 Exemplos de An´alise Estrutural 45 2.7.1 Treli¸ca Assim´etrica em Forma de Arco 45 2.7.2 Treli¸ca Espacial de 24 Elementos 46 3 An´alise de Sensibilidade 50 3.1 Considera¸co˜es Gerais 50 3.2 M´etodo Anal´ıtico 51 3.2.1 Sensibilidade dos Deslocamentos Nodais 52 3.2.2 Sensibilidade da Carga Limite 53 3.2.3 Sensibilidade da Carga Cr´ıtica Linear 54 3.2.4 Sensibilidade das Deformac¸˜oes e Tenso˜es 54 3.2.5 Sensibilidade do Vetor de For¸cas Internas 55 3.2.6 Sensibilidade do Vetor de Cargas Externas 55 3.2.7 Sensibilidade da Matriz de Rigidez El´astica 56 3.2.8 Sensibilidade da Matriz de Rigidez Geom´etrica 56 3.3 M´etodo das Diferen¸cas Finitas (MDF) 57 3.4 Exemplos de An´alise de Sensibilidade 58 3.4.1 Treli¸ca Espacial de 24 Elementos 58 4 An´alise de Confiabilidade Estrutural 62 4.1 Modelagem das Incertezas 62 4.1.1 Distribui¸co˜es de Probabilidades 63 4.1.2 Correla¸c˜ao Entre Vari´aveis Aleat´orias 63 4.1.3 Fun¸c˜ao Conjunta de Probabilidades 64 4.2 Fun¸c˜ao de Performance 65 4.3 M´etodos de An´alise de Confiabilidade 66 4.3.1 M´etodo Valor M´edio (MV) 66 4.3.2 M´etodos Baseados no Ponto de Projeto 67 4.3.3 Amostragem por Importˆancia 70 4.4 An´alise de Sensibilidade 72 4.5 Exemplos de An´alise de Confiabilidade 73 4.5.1 Coluna com 45 barras 73 5 Otimiza¸c˜ao Considerando Incertezas 78 5.1 Otimiza¸c˜ao Determin´ıstica 78 5.2 Otimiza¸c˜ao Baseada em Confiabilidade 79 5.3 M´etodo de Duplo La¸co para RBDO 79 5.4 Lineariza¸co˜es da fun¸c˜ao de estado limite 81 5.5 Ponto Inicial nos M´etodos de Busca pelo MPP 82 5.6 An´alise de Sensibilidade em RBDO 82 5.7 Exemplos 83 5.7.1 Coluna Retangular Curta 84 5.7.2 Viga em Balan¸co 86 5.7.3 Coluna de A¸co 88 5.8 Coment´arios Sobre os Exemplos 91 6 Otimiza¸c˜ao Baseada em Confiabilidade: Aplica¸c˜ao a Treli¸cas Espaciais 93 6.1 Considera¸co˜es Gerais 93 6.1.1 Considera¸c˜ao da Seguran¸ca nos Projetos 94 6.2 Metodologia de Otimiza¸c˜ao 96 6.3 Formula¸c˜ao do Problema de Otimiza¸c˜ao 97 6.3.1 Fatores de escala 98 6.3.2 C´alculo dos Gradientes 99 6.4 Implementa¸c˜ao da Formulac¸˜ao 99 6.5 Exemplos 102 6.5.1 Treli¸ca de 10 Barras 102 6.5.2 Treli¸ca Espacial de 24 Elementos 107 7 Conclus˜oes e Sugest˜oes 112 7.1 Sugest˜oes para Trabalhos Futuros 114 Referˆencias Bibliogr´aficas 116 A Vari´aveis Randˆomicas 125 A.1 Valores Caracter´ısticos de uma Vari´avel Randˆomica 125 A.2 Distribui¸c˜oes de Probabilidades 126 A.2.1 Distribui¸c˜ao Normal ou Gaussiana 127