Spri nger- Lehrbuch Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH Mathematik tur Physiker und Ingenieure Herausgegeben von Helmut Neunzert Q)(X, y,z) = c(~,~) Mathematisch ist das einfacher: Wahlt man ein kartesisches Koordinatensystem so, daB der Ursprung gleich dem Projektionszentrum (dem Nagel in der Wand) is! und die Zeichenebene (der Diese Abbildung ist aus Albrecht Durers .Under Rahmen, in dem die Leinwand schlieBlich befestigt weysung der messungl mit dem zirckel un richt wird) durch die Gleichung x = c beschrieben wird, scheytl in Linien ebnen unnd gantzen corporenl so genugen schon die Kenntnisse aus Kapitel15, durch Albrecht Darer zusamen getzogel und zu um die dadurch vermittelte Abbildung IP: nutz aile kunst/ieb habenden mit zu gehOrigen Anschauungsraum -) Zeichenebene analytisch zu figurenl in truck gebrachtl im jar. M.D.XXV" beschreiben. Prufen Sie nach, daB die Formel unter der Abbildung korrekt is!, und uberlegen Sie, 1m Text dazu wird beschrieben, wie man die warum die Abbildung fUr x = 0 nicht definiert is!. Zentralprojektion eines abzubildenden Gegenstan Vielleicht wollen Sie nach der LektUre von Kapitel des, hier einer Laute, technisch bewerkstelligl. 21 auch noch dIP berechnen? H. Neunzert W. G. Eschmann A. K. Schelkes Blickensdărfer-Ehlers Analysis2 Mit einer Einfuhrung in die Vektor- und Matrizenrechnung Ein Lehr- und Arbeitsbuch Dritte, unveranderle Auflage Mit 159 Abbildungen Springer Prof. Dr. Helmut Neunzert Dr. Winfried G. Eschmann Fachbereich Mathematik Universităt Kaiserslautern Erwin-Schrodinger-StraBe 48 67663 Kaiserslautern, Deutschland Dr. Arndt Blickensdorfer-Ehlers BrucknerstraBe 64 63452 Hanau, Deutschland Dr. Klaus Schelkes Bundesanstalt fOr Geowissenschaften und Rohstoffe Stilleweg 2 30655 Hannover, Deutschland Die Reihe Mathematik tiir Physiker und Ingenieure ist mit diesem Band volistăndig in den Springer-Lehrbiichern aufgegangen Mathematics Subject Classification (1991): 26-01, 30-01, 33-01, 34-01, 40-01, 42-01, 70-01, 78-01 Die Deutsche 8ibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Mathematik fiir Physiker und Ingenieure 1 hrsg. von Helmut Neunzert. - Berlin; Heidelberg ; New York; London ; Paris; Tokyo ; Hong Kong ; Barcelona ; Budapest : Springer (Springer-Lehrbuch) Analysis : ein Lehr-und Arbeitsbuch 1 H. Neunzert ... - Berlin; Heidelberg ; New York; Barcelona ; Budapest ; Hongkong ; London ; Mailand ; Paris; Santa Clara; Singapur ; Tokyo: Springer (Mathematik fur Physiker und Ingenieure ; ... ) (Springer-Lehrbuch) 2. Mit einer EinfUhrung in die Vektor-und Matrizenrechnung. - 3. Aufl. - 1998 (Mathematik fUr Physiker und Ingenieure : 2) ISBN 978-3-540-64118-6 ISBN 978-3-642-58950-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-58950-8 ISBN 978-3-540-64118-6 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschOtzt. Die dadurch begrOndeten Rechte, insbeson dere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfăltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfăltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulăssig. Sie ist grundsătzlich vergOtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheber rechtsgesetzes. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1982, 1993, 1998 Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998 SPIN: 10796695 44/3111 - 5 4 3 2 1 - Gedruckt auf săurefreiem Papier Inhaltsverzeichnis Vorwort zur dritten Auflage VII Ein Beispiel aus der Elektrizitatslehre 51 Vorwort zur zweiten Auflage VIII Ein Beispiel aus der Mechanik 52 Vorwort zur ersten Auflage IX Wie arbeiten Sie mit diesem Buch? XI § 2 Das Spatprodukt 53 KAPITEL 15. DER VEKTORRAUM JRN § 3 Das Spatprodukt als Determinante 55 Einleitung § 4 Geometrische Anwendungen von Vektor- § 1 Der lRn und seine anschaulichen Deutun und Spatprodukt 58 gen im Falle n=2 und n=3 Zusammenfassung 60 Anschauliche Deutungen des lR3 2 KAPITEL 18. MATRIZEN § 2 Lineare Funktionen und ihre Niveaumengen 6 Der Graph linearer Funktionen 7 Einleitung 61 Niveaumengen 8 § 1 Definition einer Matrix 62 § 3 Geraden und Ebenen 9 Die Koeffizientenmatrix eines Glei Geraden als Durchschnitt zweier Ebenen 13 chungssystems 64 DurchstoBpunkt einer Geraden durch eine Gleichungssystem als Matrizengleichung 65 Ebene 15 § 2 Lineare Abbildungen 66 § 4 Unterr~ume des lRn 16 § 3 Matrizenmultiplikation 73 Der Unterraum No(f) 16 § 4 Addition und S-Multiplikation fur Lineare Abh~ngigkeit und Unabhangigkeit 20 Basis und Dimens.ion 22 Matrizen 76 Zusammenfassung 25 § 5 Der Rang einer Matrix 78 Spaltenrang und Zeilenrang einer Matrix 78 KAPITEL 16. DAS SKALARPRODUKT Elementare Spalten- und Zeilenumformungen 80 Einleitung 27 Zusammenfassung 83 § 1 Definition und elementare Eigenschaften KAPITEL 19. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME des Skalarproduktes 27 Einleitung 85 § 2 Die L~nge von Vektoren 28 Kugeln und Sph~ren im lRn 29 § BegriffserklMrungen 85 Die Ungleichung von Cauchy und Schwarz 30 § 2 Ein Losungsverfahren 87 § 3 Orthogonalitat von Vektoren des lRn 32 Elementare Zeilenumformungen 89 Orthonormalbasen 33 Die Zeilennormalform 90 § 4 ,Normalenvektoren zu Hyperebenen des lRn 34 Der GauB-Jordan-Algorithmus 91 Die Methode der kleinsten Quadrate in § 3 Anwendung des GauB-Jordan-Algorithmus der Ausgleichsrechnung 38 zur LOsung linearer Gleichungssysteme 94 § 5 Winkelmessung 1m lRn 41 Ein LOsbarkeitskriterium 94 Die LOsungen 97 Projektionen 43 § 4 Homogene und inhomogene Systeme 100 § 6 Anhang: Skalarprodukt auf ~n 45 § 5 Eine weitere Anwendung des GauB-Jordan- Zusammenfassung 46 Algorithmus 102 KAPITEL 17. DAS VEKTORPRODUKT Berechnung der inver sen Matrix 102 Einleitung 48 § 6 Anhang: Fixpunkte linearer Abbildungen 105 § 1 Definition und Eigenschaften des Zusammenfassung 106 Vektorproduktes 48 VI Inhaltsverzeichnis KAPITEL 20, DETERMINANTEN Extrema unter Nebenbedingungen 168 Einleitung 108 § 3 Nicht-lineare Gleichungssysteme 172 Eindeutige Auflosbarkeit 172 § 1 Definition und Eigenschaften 108 Implizite Funktionen 174 Der Entwicklungssatz 109 Berechnung von Determinanten 111 zusammenfassung 177 § 2 Invertierbare Matrizen 114 KAPITEL 23, KURVENINTEGRAL UND POTENTIAL Invertierbarkeits-Kriterium und Produktsatz 114 Einleitung 179 Inversen-Berechnung 115 § 1 Gerichtete Kurven 180 Die Cramersche Regel 116 Parameterwechsel 181 Zusammenfassung 117 § 2 Das Kurvenintegral 183 Arbeit 183 KAPlTEL 21. DIFFERENTIATION 1M rnN Definition des Kurvenintegrals 184 Einleitung 119 Rechenregeln ftir Kurvenintegrale 186 § 1 Funktionen im :rn.n 120 § 3 Wegunabhangigkeit von Kurvenintegralen Beispiele 120 und Potential 188 Veranschaulichung 121 Der Hauptsatz ftir Kurvenintegrale 188 Potentiale und ihre Konstruktion 192 § 2 Partielle Differenzierbarkeit 123 Partielle Funktionen 123 § 4 Bogenlange und Kurvenintegrale tiber Offene Mengen 124 Skalarfelder 198 Partielle Ableitungen 125 Definition der Bogenlange 198 Kurvenintegrale tiber Skalarfelder 200 § 3 Stetigkeit 127 Folgen im :rn.n 127 Zusammenfassung 202 Stetige Funktionen :rn.n -> :rn. 129 Stetige Vektorfelder 130 KAPITEL 24, DIFFERENTIALGLEICHUNGEN § 4 Partielle Differenzierbarkeit und Ste Einleitung 203 tigkeit 132 § 1 Definitionen und theoretische Grundlagen 203 Stetig partiell differenzierbare Funk- Richtungsfeld 204 tionen 132 Anfangswertproblem 205 Ein Spezialfall der Kettenregel 133 § 2 Existenz- und Eindeutigkeitsfragen 207 Partiell differenzierbare Vektorfelder 134 Naherungsverfahren 207 Der Gradient 135 Der Satz von Picar-Lindelof 209 § 5 Geometrie 136 § 3 Spezielle Differentialgleichungen Kurven und Tangenten 136 erster Ordnung 211 Richtungsableitungen 139 Separable Differentialgleichungen 211 Gradient und Niveaumengen 141 Einftihrung neuer Variablen 212 § 6 Totale Differenzierbarkeit 144 Die lineare Differentialgleichung I,ineare Approximation stetig partiell erster Ordnung 214 differenzierbarer Funktionen 144 Bernoulli'sche und Riccati'sche Total differenzierbare Vektorfelder 148 Differentialgleichung 217 Die Kettenregel 149 Exakte Differentialgleichungen 219 Zusammenfassung 152 Kurze Zusammenfassung 222 § 4 Lineare Differentialgleichungen zweiter KAPITEL 22, ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG 1M IRN Ordnung mit konstanten Koeffizienten 223 Einleitung 154 Losung der inhomogenen Differential § 1 Hohere partielle Ableitungen 154 gleichung 225 Rotation, Divergenz, Laplace-Operator 156 Randwertprobleme 228 Die Taylor-Formel 160 Zusammenfassung 228 § 2 Lokale Extrema 162 Notwendige Bedingung 162 Losungen der Aufgaben 231 Hinreichende Bedingung 164 Sachverzeichnis 313 Vorwort zur dritten Auflage Nun hat auch - nach dem Willen des Verlags - begriffliche Muhe mit dem totalen Differential z.B. Analysis 2 eine dritte Auflage bekommen, 16 Jahre ist notwendig, wenn man verstehen will, was Linea- nach ihrem ersten Erscheinen, und dies trotz risierung bedeutet - und nicht nur in der Technik einiger unubersehbarer Schwachen, auf die wir schon wird Uberall linearisiert. Da reicht es nicht, mit im Vorwort zur zweiten Auflage dieses Bandes hin- d und a formal zu manipulieren oder von "kleinen gewiesen haben. Z.B. ist es ja gar keine "reine" Verschiebungen" zu reden. Wir wurden heute Uberall Analysis, sondern sie enthalt in den ersten sechs mehr numerische Methoden einfugen - jetzt muB sich Kapiteln auch lineare Algebra. Zugegeben: Diese ist diese der Student woanders suchen (aber das gilt in einem "analytischen Geist" geschrieben, was Vor- fUr fast aIle anderen einfuhrenden Bucher fur Phy und Nachteile hat. Heute wurden wir jedoch erheblich siker und Ingenieure, die auf dem Markt sind, genau- intensiver auf zwei Anwendungsaspekte der linearen so). Was wir wieder so machen wlirden, ist die Aus- Algebra eingehen: auf "numerische lineare Algebra", fUhrlichkeit der Erklarungen: Aus Briefen wissen wir die sich in fast allen Berechnungsmethoden von Tech- von einer stattlichen Anzahl von Menschen, die die nik und Naturwissenschaft wiederfindet, und auf die Grundlagen ausschlieBlich aus unseren Buchern lern "linearen Algebra"-Aspekte einer modernen Regelungs- ten und offenbar ganz gut damit fuhren. Wir danken theorie. auch fur die Anregungen, die wir aus dies en Briefen Warum wir es nicht tun, und warum wir auch immer erhielten. noch keinen Band 3 geschrieben haben, in dem nun endlich Eigenwerte, mehrdimensionale Integration, Neulich fanden wir ein Zitat von T.S. Eliot, das etwas zu partiellen Differentialgleichungen, zu uns des Nachdenkens und der Weitergabe wert schien: Fourier- und Wavelet-Transformation stehen sollte, Where is the wisdom, we have lost haben wir im Vorwort zur zweiten Auflage von Ana- in knowledge? lysis beschrieben: Es fehlt uns die Zeit, weil Where is the knowledge, we have lost in information? uns die Technik so viele spannende Forschungspro bleme vorlegt, die wir auch in die alltagliche, Weisheit wird man wohl mit unserem Buch nicht ge "lebendige" Lehre einbeziehen wollen. winnen, aber hoffentlich doch wenigstens Wissen - Aber der Geist dieser Analysis 2 ist wie der ihrer und nicht nur Information. erstgeborenen Schwester immer noch der Geist, den wir fur eine Mathematikvorlesung fur Ingenieure fur richtig halten: keine mathematische Abstraktion als Kaiserslautern, im Januar 1998 Selbstzweck, aber auch nicht nur Kochrezepte. Die W. Eschmann, H. Neunzert Vorwort zur zweiten Auflage Auch un sere Analysis 2 bekommt nun nach mehr ist die Auswertung dieser Modelle, das Losen als 12 Jahren eine Neuauflage. Wie bei Analy der Gleichungen mit Hilfe des Rechners, ist - sis 1 wurden nur geringere Fehler des ursprung um ein Schlagwort zu gebrauchen - "scientific lichen Textes korrigiert - auch jetzt bedeutet computing". dies nicht, daB wir heute nicht vieles anders Das Modellieren haben wir hier und da schon machen wUrden, wenn wir denn Zeit fur eine versucht, das "Computing" haben wir vernach Neugestaltung flinden. Naturlich ist "keine zeit lassigt. Ein direktes Einbeziehen des compu- haben" immer nur eine Frage von Prioritliten - tinq-Aspekts (und das meint mehr als nur ein und wenn wir nun ein Buch schreiben wollten, so biBchen Interpolation und Approximation) war hlitten die alte, bisher nicht verwirklichte damals und ist vielleicht heute noch ein metho Idee einer Analysis 3 und die neue, reali disch schwieriges Unterfangen, das auch andere stischere Idee, ein Buch uber partielle Diffe Autoren noch scheitern lliBt. So bleibt weiter rentialgleichungen in dieser Reihe zu machen, hin nur der Ausweg, nach einer Analysis eine doch den Vorrang. algorithmisch orientierte Numerik zu lernen. Was wir heute nicht lindern wUrden, ist der Weil dies und vieles praktisch Wichtige (mehr stil: Die Breite der Darstellung, der Versuch, dimensionale Integrale, Fourieranalysis, Dis den Leser personlich anzusprechen, jener Mit tributionen, Eigenwerte, Kontrolltheorie, sta telweg zwischen mathematischer strenge und An tistik diskreter Strukturen usw.) noch nach wendernlihe. Das Buch ist eben nicht fur Dozen kommen muB, ist Analysis 2 ein Buch fur das ten, sondern fur Studenten geschrieben - und zweite Semester, wie Analysis 1 im ersten Se die Reaktion der Studente n war uberwiegend mester abgearbeitet werden mU8. Da bleibt, will positiv (was nicht heiBt, da8 wir unter Kolle man nicht wie ein erbarmungsloser sturmwind genschelte gelitten haben). Uber und durch die Kopfe der Studenten brausen, Was wir heute lindern wUrden, ist teilweise der nur noch Mut zur Lucke: Die ubliche Methode, Inhalt: Die Anspruche von Ingenieuren und Phy- schlicht nicht fertig zu werden, bedeutet nur, sikern haben sich gelindert, oder wir sehen daB Lucken eben am Ende bleiben. Ob die harm diese Anspruche heute deutlicher und damit loser sind als Kurzungen vorne (z. B. bei der anders. So wlire es fur Physiker und Nach- vollstandigen Induktion am Anfang) mag be richteningenieure nutzlich, wenn man etwas uber zweifelt werden. Wir haben versucht, das Pro Funktionenrliume erfuhre; der Aufwand ist, ver- blem zu losen, indem wir mit den BUchern zichtet man auf mathematische strenge in einem arbeiteten: Unsere Vorlesungen sollten Kommen AusmaB, das einem das Lebesgue-MaB erspart, tare zu den verschiedenen Abschnitten sein, nicht uberwliltigend, der Gewinn wlire fur einen wobei wir davon ausgingen, daB die Studenten Einstieg in Quanten- oder Systemtheorie be diese schon vorher gelesen hatten. Skeptiker trtichtlich. Man konnte dafur bei der geometri behalten vermutlich meistens recht: Manche schen Deutung linearer Gleichungssysteme spar en hatten, viele hatten nicht. Trotzdem: Diese letztere entstehen heute sowieso lUeist bei BUcher sind gedacht, da8 man mit ihnen der Diskretisierung von Differentialgleichun arbeitet, und es ist nicht einzusehen, warum gen, und dies sollte man mehr betonen. Vorlesungen diese Arbeit nicht anregen, fuhren Das ist Anders als vor 12 Jahren: Die compu und erqanzen sollten, anstatt zu reinen Mit tersimulation hat das Realexperiment in Physik schreibeUbungen zu verkommen. Wlihrend der Vor und Technik noch mehr zuruckgedrangt - und Com lesung zuhoren, die Inhalte vor- und nachlesen, putersimulation ist, auch wenn mancher Inge Papier und Bleistift daneben: Mathematik lernt nieur dies vergi8t, Mathematik. Computersimula man durch Tun, nicht durch Konsumieren. tion ist das Aufstellen mathematischer Glei chungen, die einen Proze8 oder das Verhalten Kaiserslautern im Sommer 1993 eines Systems beschreiben, ist also "mathema W. Eschmann, H. Neunzert tische Modellbildung". Und Computersimulation Vorwort zur ersten Auflage Das vorliegende Buch ist die Fortsetzung des ben. Dabei wurde streng darauf geachtet, daB Bandes Analysis 1 in derselben Reihe; wie die die Hinweise der Kollegen von der Elektrotech ser ist es aus Studienbriefen fUr Fernstudenten nik weiterhin berUcksichtigt bleiben - nochmals der Elektrotechnik entstanden und sollte daher gilt unser Dank den Professoren Heinlein und ebenfalls zurn Selbststudium geeignet sein. Ge Freise (Kaiserslautern) sowie Professor Bausch meinsam mit Analysis 1 Uberdeckt es inhaltlich und Diplom-Ingenieur Schneider (TU Hannover). das, was normalerweise in 2 bis 3 Semestern der Mathematikausbildung an technischen Hochschulen Aus ganz anderem AnlaB aber nicht weniger herz und Universitaten behandelt wird. lich haben wir Frau I. Schaurnloffel und Frau C. Kranz zu danken: Nur ihr wirklich unermUd 1m Vorwort von Analysis 1 haben wir versucht, licher Einsatz beim Schreiben des Manuskripts unseren Standort in einer "Mathematik fUr Phy erlaubte es uns, den Fertigstellungstermin we siker und Ingenieure" zu beschreiben; wir woll nigstens in etwa einzuhalten. ten einen Kurs der Mitte zwischen logisch stre~ SchlieBlich gilt unser Dank Frau B. Gohring und ger, aber wenig anwendungsbezogener Mathematik Herrn Dr. R.P. Konigs yom Springer-Verlag; ih auf der einen Seite und einer fUr den Anwender rem groBen personlichen Engagement ist es zu vermeintlich angenehmen, aber unmathematischen, danken, daB die Gestaltung der BUcher sogar formelhaften Darstellung auf der anderen Seite besser, ihr Preis nur wenig hoher war als es steuern. All dies gilt auch fUr diesen zweiten der ursprUnglichen Vorstellung der Verfasser Band. Die Kritik, die uns zurn ersten Buch (ne entsprach. ben etlichen recht positiven Stellungnahmen) erreichte, kam immer von einer dieser Seiten: FUr den einen enthielt es zu vie I Mathematik, ZUM INHALT DES BUCHES zu viele Definitionen und Satze, den anderen storte der relativ groBe Aufwand an "unmathe matischer" Motivation und wieder andere meinten, In Analysis 1 hatten wir vorwiegend Funktionen daB zuviel gerechnet und zu wenig bewiesen wer einer reel len oder komplexen Variablen betrach de. Nach unserer Meinung sind wir auf diese tet. Solche Funktionen reichen natUrlich zu ei (vorhersehbaren) Kritikpunkte schon im Vorwort ner mathematischen Beschreibung aller physika zurn ersten Band eingegangen und wiederholen da lischen oder technischen Sachverhalte bei wei her nur in aller KUrze: Unsere BUcher sind in tern nicht aus. erster Linie fUr Anwender der Mathematik ge 1m Mittelpunkt des vorliegenden Buches stehen dacht. Dies bedeutet aber nach un serer Meinung daher Funktionen von mehreren Veranderlichen. nlcht, daB es sich urn eine "Sammlung von Koch Zu Beginn wird der Argurnentbereich solcher Fun~ rezepten" handeln darf; die Auseinandersetzung tionen, der Vektorraum lRn von n-Tupeln reeller mit der logischen Strenge der Mathematik for Zahlen, betrachtet. Punkte und (physikalische) dert, so glauben wir, das Wissenschaftsverstand Vektoren des Anschauungsraurnes dienen der Ver nis von Student en der lngenieur- und Naturwis anschaulichung des lR3 • Besondere Aufmerksamkeit senschaften. verdienen dann die linearen Funktionen auf dem lRn - schlieBlich ist es j a das Z iel der Ana Die Texte des vorliegenden Buches weichen star lysis, beliebige Funktionen durch solche ein ker von den Studienbriefen des Projektes "Fern fachen, eben lineare Funktionen anzunahern. studiurn im Medienverbund" ab als dies beim er Ebenen und Geraden dienen wiederurn der Veran sten Band der Fall war. Drei der vier Autoren sChaulichung linearerFunktionen. Skalarprodukt hielten eine grUndliche Uberarbeitung fUr not und Vektorprodukt sind Hilfsmittel urn geome wendig und sind heute, nach Fertigstellung des trische Vorstellungen fUr die LOsung meist ana endgUltigen Manuskriptes Uberzeugt, den ur lytischer Probleme nutzbar zu machen. Matrizen, sprUng lichen Text wesentlich verbessert zu ha- lineare Abbildungen und Determinanten werden x Vorwort zur ersten Auflage sowelt entwlckelt, wle es zu einer befriedigen VergnUgen, sogar Freude im Umgang mit· der den Behandlung linearer Gleichungssysteme und Mathematik vermittelt zu haben. fUr die Anwendungen in der mehrdimensionalen Analysis notig ist. Kaiserslautern im September 1981 Soviel zum ersten Teil des Buches, den wir im W.G. Eschmann, H. Neunzert, K. Schelkes Untertitel als EinfUhrung in die Vektor- und Matrizenrechnung bezeichnet haben. Obwohl etwas altmodisch klingend, bezeichnet es den Inhalt dieses Teiles doch zutreffender als der auch fUr Ingenieurvorlesungen ahnlichen Inhalts oft Lineare Alge Ubliche Titel "Lineare Algebra". Er deutet nach bra unserer Meinung zu stark auf rein algebraische Inhalte hin, wie sie ja auch in Vorlesungen dieses Titels fUr Mathematiker gebracht werden. FUr den von uns ins Auge gefassten Leserkreis sind sie aber nicht vordringlich. "Lineare Ana lysis" ware treffend, ist aber zumindest unge wohnt. Differential Der zweite Teil behandelt die Differentialrech rechnunq nung von Funktionen mehrerer Veranderlichen, Kurvenintegrale und einfache Differentialglei chungen. Gerade im Bereich der Differential rechnung haben wir uns bemUht, mathematisch saubere Definitionen auch dem Ingenieur naher zu bringenl so ist z.B. das totale Differential kein "formaler Ausdruck", kein "Symbol", und es hat auch nicht direkt etwas mit "kleinen Ver schiebungen" zu tun. Kurvenintegrale und Poten tiale spielen in den physikalischen Grundlagen sicher eine groBe Rolle und nehmen daher einen relativ breiten Raum ein. Dagegen haben wir die theoretischen Grundlagen der gewohnlichen Dif ferentialgleichungen nur kurz behandelt und die praktischen Losungsmethoden ausfUhrlicher dar gestellt. Die Bande Analysis 1 und 2 beinhalten natUrlich bei weitem nicht die ganze vom Ingenleur oder gar Physiker benotigte Mathematik. Sicher fallt sofort auf, daB Eigenwertprobleme ebenso fehlen wie die mehrdimensionale Integration 1 deshalb werden auch z.B. lineare Systeme gewBhnlicher Differentialgleichungen und die Integralsatze nicht behandelt. FUr diese und andere Fragen ist ein weiterer Band dieser Reihe "Mathematik fUr Physiker und Ingenieure" bereits in Ent stehung. Auch nach Vorliegen dieses dritten Bandes wird noch viel zu tun sein, und es gibt bereits konkrete Plane. Die Autoren von Analysis 1 und 2 hoffen, mit Die Gedichte auf den Seiten 83 un~ 152 sind aus ihren BUchern den Grundstock fUr eine sinnvolle der Sammlung "Carmina Mathematica" von Hubert und gute Mathematikausbildung von Ingenieuren Cremer (5. Auflage, 1977). Wir danken dem Ver und Physikern gelegt zu habenl und sie hoffen lag I.A. Mayer, Aachen fUr die freundliche Ge darUber hinaus, dem Leser hin und wieder auch nehmigung zum Abdruck.