CV_AlgebreGeometrie:EP 31/07/14 16:58 Page 1 Pierre Burg E N R E Pierre Burg T S E N E N I U Algèbre et géométrie R N Q TE O TI EX ATI MA CAPES EXTERNE S G É E É H AGRÉGATION INTERNE CAPES et Agrégation AP GR AT MATHÉMATIQUES C A M L’ouvrage présente tout le nouveau programme d’algèbre et de géométrie Algèbre et au CAPES externe et à l’Agrégation interne de mathématiques avec un cours e complet et plus de 200 démonstrations, exemples et exercices corrigés. i r Il permet aux candidats de maîtriser le programme d’algèbre et de géométrie t commun aux deux concours et de s’entraîner aux épreuves. é géométrie ms Sommaire é g 1. Nombres complexes 7. Matrice i or 2. Structures algébriques usuelles 8. Déterminant or éc 3. Arithmétique dans l’ensemble 9. Réduction des endomorphismes s CAPES et Agrégation des entiers relatifs 10. Formes bilinéaires symétriques ge c 4. Polynômes – Fractions rationnelles Géométrie euclidienne i c 5. Espace vectoriel : généralités Espace euclidien orienté tr e 6. Espace vectoriel en dimension finie Index ex e Géométrie affine & e (cid:129) s rr Conforme au nouveau programme Agrégé de mathématiques, professeur hors classe, Pierre Burg a été membre du jury du CAPES et u du CAPESA durant de nombreuses années. Colleur en classes préparatoires MP et MP*, il intervient bo (cid:129) également au CNED dans la préparation du CAPES de mathématiques. C Cours complet è (cid:129) g Plus de 200 exercices corrigés l A ISBN 978-2-311-00500-4 WWW.VUIBERT.FR 9 782311 005004 ✐ ✐ “Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page V — #3 ✐ ✐ Table des matières Avant-propos XIII 1 Nombres complexes 1 1.1 Corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Représentation géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Racines carrées dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Équation de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Factorisation des polynômes dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Exponentielle d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6.1 Propriétés de l’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8 Géométrie et complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8.1 Similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Structures algébriques usuelles 27 2.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Sous-groupe d’un groupe fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Morphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Noyau et image d’un morphisme de groupes . . . . . . . . . 32 2.4 Sous-groupe engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.1 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2 Groupe monogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.3 Ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.1 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6 Anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.6.1 Propriétés de calcul dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6.2 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6.3 Éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6.4 Diviseurs de zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6.5 Sous-anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page VI — #4 ✐ ✐ VI Tabledes matières 2.7 Morphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.8 Idéal d’un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.8.1 Divisibilité dans un anneau commutatif intègre . . . . . . . . 49 2.8.2 Arithmétique de Z revisitée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.8.3 Relation de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.9 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.9.1 Sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.10 Anneau (Z/nZ,+, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 × 2.10.1 Théorème d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.10.2 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.11 Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.13 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs 69 3.1 Anneau Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.1 Sous-groupes additifs de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.2 Caractérisationdes sous-groupes additifs . . . . . . . . . . . 71 3.3 Idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4.1 Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5 Congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.1 Compatibilité de la congruence avec les opérations . . . . . . 75 3.5.2 Groupe additif Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.3 Produit dans Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6 PGCD et PPCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6.1 Plus grand commun diviseur dans N . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6.2 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6.3 Équation diophantienne ax+by =c . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6.4 Plus petit commun multiple dans N . . . . . . . . . . . . . . 91 3.6.5 Plus grand commun diviseur de plusieurs entiers . . . . . . . 94 3.7 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.7.1 Le corps (Z/pZ,+, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 × 3.7.2 Petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.7.3 Théorème de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.7.4 Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.9 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4 Polynômes 115 4.1 Définitions et structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.3 Composition de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.4 Divisibilité dans Kn[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page VII — #5 ✐ ✐ Tabledes matières VII 4.4.2 Idéaux de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5 Fonction polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.6 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.6.1 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.6.2 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6.3 Relations entre les coefficients et les racines . . . . . . . . . . 135 4.7 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.7.1 Dérivation et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.7.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.7.3 Caractérisationde l’ordre d’une racine. . . . . . . . . . . . . 141 4.8 Arithmétique dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.8.1 PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.8.2 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.8.3 Plus petit commun multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.8.4 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.9 Lien PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.10 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.10.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.10.2 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . 152 4.10.3 Application au PGCD et au PPCM . . . . . . . . . . . . . . 153 4.11 Factorisation dans C[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.11.1 Théorème de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.11.2 Polynôme conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.12 Factorisation dans R[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.13 Polynôme d’interpolation de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Fractions rationnelles 160 4.14 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.14.1 Structures de K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.14.2 Représentant irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.14.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.14.4 Composition avec un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.14.5 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.15 Fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.15.1 Fonction rationnelle définie par une fraction rationnelle . . . 166 4.16 Décomposition d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.16.1 Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.16.2 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.17 Décomposition en éléments simples dans C(X) . . . . . . . . . . . . . 172 4.17.1 Mise en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.18 Décomposition en éléments simples dans R(X) . . . . . . . . . . . . . 175 4.18.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 P′ 4.19 Décomposition de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 P 4.20 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.21 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page VIII — #6 ✐ ✐ VIII Tabledes matières 5 Espace vectoriel : généralités 199 5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.1.1 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.1.2 Sous-espace engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.2 Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.2.1 Structure de (E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 L 5.3 Noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.4 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.4.1 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.5 Anneau des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.5.1 Itérés d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.6 Endomorphismes remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.6.1 Homothétie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.6.2 Projection vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 5.6.3 Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.6.4 Symétrie vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.6.5 Affinité vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 5.6.6 Somme directe et projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5.8 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6 Espace vectoriel en dimension finie 229 6.1 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.2 Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.3 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.5 Sous-espace d’un espace de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.6 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 6.6.1 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 6.6.2 Théorème d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 6.6.3 Application : interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . 242 6.7 Formule de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 6.8 Dimension de (E,F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 L 6.9 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.9.1 Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.9.2 Équation cartésienne d’un hyperplan . . . . . . . . . . . . . 248 6.9.3 Dualité en dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6.9.4 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6.9.5 Intersection d’hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 6.9.6 Base antéduale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Géométrie affine 256 6.10 Structure affine d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 6.10.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 6.11 Sous-espace affine d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 6.11.1 Droites et plans affines de Rn, n=2 ou 3 . . . . . . . . . . . 261 6.11.2 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page IX — #7 ✐ ✐ Tabledes matières IX 6.12 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 6.12.1 Associativité du barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 6.12.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 6.13 Repère affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 6.14 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 6.15 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 7 Matrice 293 7.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 7.1.1 Matrice rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 7.1.2 Somme de matrices et produit par un scalaire . . . . . . . . 293 7.1.3 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 7.1.4 Matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.1.5 Matrices carrées symétriques et antisymétriques . . . . . . . 297 7.2 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 7.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.3.1 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 7.4 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 7.4.1 Caractérisationde l’inversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . 302 7.5 Matrices par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 7.6 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 7.6.1 Matrice d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 7.6.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 307 7.6.3 Application linéaire associée à une matrice . . . . . . . . . . 309 7.7 Matrice de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 7.7.1 Action du changement de base sur un vecteur . . . . . . . . 310 7.7.2 Action du changement de base sur une application linéaire . 311 7.8 Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 7.9 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 7.10 Opérations élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 7.10.1 Transvections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 7.10.2 Dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 7.10.3 Matrice de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 7.11 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 7.11.1 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 7.11.2 Traduction matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 7.11.3 Méthode pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 7.11.4 Système de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 7.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 7.13 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 8 Déterminant 339 8.1 Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 8.2 Déterminant de n vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 8.2.1 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 8.3 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 8.4 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page X — #8 ✐ ✐ X Tabledes matières 8.5 Déterminant d’une matrice par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 8.6 Développement d’un déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 8.7 Vecteurs linéairement indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 8.8 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 8.9 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 8.9.1 Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 8.9.2 Formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 8.9.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 8.10 Orientation d’un espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 8.11 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 8.12 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 8.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 8.14 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 9 Réduction des endomorphismes 383 9.1 Sous-espaces vectoriels stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 9.1.1 Application aux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 9.2 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 9.2.1 Cas des sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 9.3 Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 9.4 Lemme de décomposition des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 9.4.1 Application aux équations différentielles . . . . . . . . . . . . 392 9.5 Éléments propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 9.6 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 9.6.1 Polynôme caractéristique et valeurs propres . . . . . . . . . . 401 9.6.2 Ordre de multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 9.7 Théorème de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 9.8 Valeurs propres et polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 9.9 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 9.9.1 Applications de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . 411 9.9.2 Projecteurs spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 9.9.3 Polynôme annulateur et diagonalisation . . . . . . . . . . . . 415 9.9.4 Diagonalisation simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 9.10 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 9.10.1 Trigonalisationsimultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 9.11 Sous-espaces caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 9.11.1 Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 9.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 9.13 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 10 Formes bilinéaires symétriques – Géométrie euclidienne 445 10.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 10.1.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 10.1.2 Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 10.2 Norme issue d’un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 10.2.1 Égalités de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 10.2.2 Égalité du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ ✐ “Burg-maitre” — 2014/8/7 — 14:26 — page XI — #9 ✐ ✐ Tabledes matières XI 10.3 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 10.4 Vecteur unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 10.5 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 10.5.1 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 10.5.2 Procédé d’orthonormalisationde Schmidt . . . . . . . . . . . 457 10.5.3 Partie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 10.5.4 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 10.6 Hyperplan d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 10.6.1 Équation d’un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 10.7 Représentation d’une forme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 10.8 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 10.8.1 Projection orthogonale sur un hyperplan affine . . . . . . . . 468 10.8.2 Inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 10.8.3 Égalité de Parseval-Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 10.9 Propriétés des projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 10.10 Symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 10.11 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 10.11.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 10.12 Endomorphisme symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 10.13 Réduction des endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . 488 10.14 Norme d’un endomorphisme symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 10.15 Forme bilinéaire et endomorphisme symétrique . . . . . . . . . . . . . 492 10.15.1 Matrice d’une forme bilinéaire symétrique . . . . . . . . . . . 492 Espace euclidien orienté 495 10.16 Rappels : espace vectoriel orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 10.16.1 Orientation d’un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 10.17 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 10.18 Angle dans E euclidien orienté de dimension 2, étude de O(E) . . . . 497 10.18.1 Angle orienté du plan orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 10.18.2 Étude de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 10.19 Angle dans E euclidien orienté de dimension 3, étude de O(3) . . . . 501 10.19.1 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 10.19.2 Double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 10.19.3 Orientation dans E euclidien de dimension 3, angle . . . . . 506 10.19.4 Orientation associée à un plan P et à P⊥ . . . . . . . . . . . 507 10.19.5 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . . . . . . 507 10.19.6 Produit mixte et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 10.19.7 Étude de O(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 10.19.8 Étude pratique d’une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 10.20 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 10.21 Corrigé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 Index 543 ✐ ✐ ✐ ✐