Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0 mathématiques en devenir Texte pour la 2eédition française du livre Algèbre commutative Méthodes constructives Modules projectifs de type fini version actualisée le 9 novembre 2015. Nous avons corrigé des erreurs, rajouté des solutions d’exercices ainsi que quelques compléments. Aucune numérotation n’a changé, sauf le principe local-global XII-7.13 devenu XII-7.14, et le nombre de pages a augmenté d’une centaine. Toutes précisions utiles sur le site : http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html. Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0 Mathématiques en devenir 101. — Jacques Faraut. Analyse sur les groupes de Lie. Une introduction 102. — Patrice Tauvel. Corps commutatifs et théorie de Galois 103. — Jean Saint Raymond. Topologie, calcul différentiel et variable com- plexe 104. — Clément de Seguins Pazzis. Invitation aux formes quadratiques 105. — Bruno Ingrao. Coniques projectives, affines et métriques 106. — Wolfgang Bertram. Calcul différentiel topologique élémentaire 107. — Henri Lombardi & Claude Quitté. Algèbre commutative. Méthodes constructives. Modules projectifs de type fini 108. — Frédéric Testard. Analyse mathématique. La maîtrise de l’implicite 109. — Grégory Berhuy. Modules : théorie, pratique... et un peu d’arith- métique 110. — Bernard Candelpergher. Théorie des probabilités. Une introduction élémentaire 111. — PhilippeCalderoetJérômeGermoni.Histoireshédonistesdegroupes et de géométries. Deux tomes. 112. — Gema-Maria Díaz-Toca, Henri Lombardi & Claude Quitté. Modules sur les anneaux commutatifs. Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0 Henri Lombardi & Claude Quitté Algèbre commutative méthodes constructives Modules projectifs de type fini Cours et exercices 2eédition Dernière mise à jour, 9 novembre 2015 Calvage & Mounet Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0 Henri Lombardi. Maître de Conférences à l’Université de Franche-Comté et membre de l’Équipe de Mathématique de Besançon (UMR 6623). Ses recherches concernent les mathématiques constructives, l’algèbre réelle et la complexité algorithmique. Il est l’un des initiateurs du groupe international M.A.P. (Mathematics, Algorithms, Proofs), créé en 2003 : voir le site http://map.disi.unige.it/ Il a publié les ouvrages suivants. – Modules sur les anneaux commutatifs, Calvage&Mounet, 2014, en collaboration avec Gema Díaz-Toca et Claude Quitté. – Épistémologie mathématique, Ellipse, 2011. – Méthodes matricielles. Introduction à la complexité algébrique, Springer, 2003, en collaboration avec Jounaïdi Abdeljaoued. – Géométries élémentaires (tome 1), Presses Universitaires de Franche-Comté. 1999. [email protected] http://hlombardi.free.fr Claude Quitté. Maître de conférences à l’Université de Poitiers et membre du Laboratoire de Mathématiques et Applications de l’Université de Poitiers (UMR 6086). Ses recherches concernent l’algèbre commutative effective et le calcul formel. Il a enseigné à tous les niveaux (en particulier dans la préparation à l’agrégation), et il est intervenu dans des enseignements combinant mathématiques et informatique. Il a programmé en Magma de très nombreux algorithmes en relation directe avec le présent ouvrage (cours et/ou exercices). En collaboration avec Patrice Naudin, il a publié l’ouvrage Algorithmique algébrique, Masson, 1991. Avec Henri Lombardi, il a participé à la rédaction de l’ouvrage collectif Mathématiques L3 Algèbre. Pearson Education, 2009. Il a publié Modules sur les anneaux commutatifs, Calvage&Mounet, 2014, en collaboration avec Gema Díaz-Toca et Henri Lombardi. [email protected] Mathematics Subject Classification (2010) – Primary : 13 Commutative Algebra. – Secondary : 03F Proof theory and constructive mathematics. 06D Distributive lattices. 14Q Computational aspects of algebraic geometry. ISBN 0000000000000 Imprimé sur papier permanent 0 000000 000000 (cid:13)c Calvage & Mounet, Paris, 201? Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0 à James Brewer Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0 Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0 Préface de la première édition Celivreestuncoursd’introductionàl’algèbrecommutativedebase,avecun accent particulier mis sur les modules projectifs de type fini, qui constituent la version algébrique des fibrés vectoriels en géométrie différentielle. Nous adoptons le point de vue constructif, avec lequel tous les théorèmes d’existenceontuncontenualgorithmiqueexplicite.Enparticulier,lorsqu’un théorème affirme l’existence d’un objet, solution d’un problème, un algo- rithme de construction de l’objet peut toujours être extrait de la démons- tration qui est donnée. Nous revisitons avec un regard nouveau et souvent simplificateur plusieurs théories classiques abstraites. En particulier, nous revenons sur des théories qui n’avaient pas de contenu algorithmique dans leur cadre naturel général, commelathéoriedeGalois,celledesanneauxdeDedekind,celledesmodules projectifs de type fini ou celle de la dimension de Krull. L’algèbre constructive est en fait une vieille discipline, développée entre autres par Gauss et Kronecker. Nous nous situons dans la lignée de la hhbibleii moderne sur le sujet, qu’est le livre A Course in Constructive Algebra de Ray Mines, Fred Richman et Wim Ruitenburg, paru en 1988. Nous le citerons sous forme abrégée [MRR]. L’ouvrage correspond à un niveau de Master 2, du moins jusqu’au cha- pitre XIV, mais ne réclame comme prérequis que les notions de base concer- nant la théorie des groupes, l’algèbre linéaire sur les corps, les déterminants, les modules sur les anneaux commutatifs, ainsi que la définition des an- neaux quotients et localisés. Une familiarité avec les anneaux de polynômes, les propriétés arithmétiques de Z et des anneaux euclidiens est également souhaitable. Signalons enfin que nous considérons les exercices et problèmes (un peu plus de 320 en tout) comme une partie essentielle de l’ouvrage. – vii – Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0 viii Préface Nous essaierons de publier le maximum de corrigés manquants, ainsi que des exercices supplémentaires, sur la page web de l’un des auteurs : http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html. Remerciements. Nous remercions tou(te)s les collègues qui nous ont encouragés dans notre projet, nous ont apporté quelques sérieux coups de main ou fourni de précieuses informations. Et tout particulièrement MariEmi Alonso, Thierry Coquand, Gema Díaz-Toca, Lionel Ducos, M’hammed El Kahoui, Marco Fontana, Sarah Glaz, Laureano González-Vega, Emmanuel Hallouin, Hervé Perdry, Jean-Claude Raoult, Fred Richman, Marie-Françoise Roy, Peter Schuster et Ihsen Yengui. Last but not least, une mention toute spéciale pour notre expert Latex, François Pétiard. Enfin,nousnesaurionsoublierleCentreInternationaldeRecherchesMathé- matiques à Luminy et le Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, qui nous ont accueillis pour des séjours de recherche pendant la préparation de ce livre, nous offrant des conditions de travail inappréciables. Henri Lombardi, Claude Quitté Août 2011 Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0 Préface de la deuxième édition Dans cette deuxième édition, nous avons corrigé les erreurs que nous avons débusquées ou qui nous ont été signalées. Nousavonsrajoutédessolutionsd’exercicesainsiquequelquescompléments. Laplupartdescomplémentssontdescorrectionsd’exercicesoudenouveaux exercices ou problèmes. Les ajouts dans le cours sont les suivants. Un paragraphe sur les tenseurs nuls ajouté à la fin de la section IV-4. Le paragraphe sur les quotients de modules plats à la fin de la section VIII-1 a été étoffé. La section XII-8 a été rajoutée pour discuter un problème intéressant de décryptage des démonstrations classiques, insensibles à la distinction entre anneaux sans diviseur de zéro et anneaux intègres, pertinente du point de vue constructif. Enfin, on a rajouté deux sections 8 et 9 dans le chapitre XV consacré aux principes local-globals. Aucune numérotation n’a changé, sauf le principe local-global XII-7.13 devenu XII-7.14. Le nombre de pages a augmenté d’une centaine. Il y a maintenant 320 exercices et 45 problèmes. L’éditionanglaisechezSpringercorrespondàtrèspeuprèsàcettedeuxième édition française. Il manque cependant la section XII-8 ainsi que quelques nouveaux exercices. Toutes précisions utiles sur le site : http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html. Henri Lombardi, Claude Quitté Mai 2014 – ix – Algèbre commutative. Méthodes constructives. 2eédition. Henri Lombardi & Claude Quitté 9 novembre 2015 [15:2] Fichier:ACMC-1 chapitre:0