MuPAD Reports Winfried Fakler Aigebraische Algorithmen zur L6sung von linearen Differentialgleichungen MuPAD Reports Herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. Benno Fuchssteiner, Universitat-GH Paderborn Institut fOr Automatisierung und Instrumentelle Mathematik (Automath) MuPAD ist ein offenes universelles (general purpose) Com puteralgebra-System,das an der Universitat-GH Paderborn ent wickelt wird. Aktuelle Programmversionen stehen auf dem FTP Server der Universitat-GH Paderborn zur Zeit fOr Windows 95, Apple Macintosh System 7.x sowie fOr die gangigen UN IX Syste mezur VerfOgung. Siehe hierzu ftp://ftp.rnupad.de/MuPAD/. MuPAD Reports informiert Ober die grundlegenden Strukturen und Wirkungsweisen von Computeralgebra-Systemen am Bei spiel von MuPAD. Die Reihegibt Einblick in die technischen und theoretischen Grundlagen des Entwurfs von System en zur sym bolischen Verarbeitung mathematisch-technischer Sachverhal teo Aktuelle Informationen zu MuPAD und der projektbegleiten den Forschung sind im World-Wide-Web zu finden unter http://www.mupad.de. Eine detaillierte Beschreibung des Systems und seiner Programmiersprache wird im User's Manual [29]1 gegeben. MuPAD © ist ein Copyright der Sci Face Software GmbH & Co. KG. Seit Okt. 1997 wird MuPAD in Kooperation mit Sci Face Software entwickelt. SciFace Software vertreibt MuPAD und bietet kom merziellen Support an. Siehe hierzu http://www.sciface.com. 1 Siehehierzuauchhttp://www. teubner.de und http://www.wiley. co .uk Aigebraische Algorithmen zur Losung von linearen Differentialgleichungen Von Dr. rer. nat. Winfried Fakler Universitat-Gesamthochschule Paderborn 83 B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig 1999 Winfried Fakler Universität-GH Paderborn Institut für Automatisierung und Instrumentelle Mathematik Warburger Straße 100 D-33098 Paderborn, Germany e-mail:[email protected] Zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwis senschaften der Fakultät für Informatik der Universität Karlsruhe (Tech nische Hochschule) genehmigte Dissertation von Winfried Fakler aus Tannheim. Tag der mündlichen Prüfung: 19. Juni 1998 Erster Gutachter: Prof. Dr. Jacques Calmet Zweiter Gutachter: Prof. Dr. Benno Fuchssteiner AXIOM ist ein Warenzeichen von NAG, Ud; Macintosh ist ein Warenzeichen von Apple Computer, Inc.; Maple ist ein Warenzeichen von Waterloo Maple Software; Mathematica ist ein Warenzeichen von Wolfram Research, Inc.; UNIX ist ein Warenzeichen von AT& T; Windows ist ein Warenzeichen von Microsoft Corpora tion. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Fakler, Winfried: Algebraische Algorithmen zur Lösung von linearen Differentialgleichungen / Winfried Fakler. - Stuttgart ; Leipzig: Teubner, 1999 (MuPAD-Reports) ISBN 978-3-519-02136-0 ISBN 978-3-322-92104-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-92104-8 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © 1999 B.G.Teubner Stuttgart . Leipzig Einband: Peter Pfitz, Stuttgart Vorwort des Herausgebers Mathematics is the basis of technological progress and technological progress is a key for international competitiveness. Automating an important part of the mathematical problem solving process is a key technology for a nation that wishes to control structure and accelerate technological progress. The automation of the solution of mathematical problems is a powerful lever with which human productivity and expertise can be amplif ied many times. - Aus A. C. Hearn, Ann Boyle and B.F. Caviness (eds): Future Directions for Research in Symbolic Computation, Siam Reports on Issues in the Mathematical Sciences, Philadelphia, 1990 Computeralgebra-Systeme (CA-Systeme) stellen dem Ingenieur und Naturwis senschaftler fast aIle notwendigen Formeln und Algorithmen seiner taglichen Praxis zur VerfUgung. Sie setzen Formeln fehlerfrei ineinander ein, bestimmen Ableitungen, l6sen Gleichungen, zeichnen Graphiken, verdeutlichen Geometrie, und berechnen die benotigten Resultate mit beliebiger Prazision. AuBerdem erlauben sie eine mfihelose funktionale Programmierung anspruchsvoIler Sach verhalte. Computer algebra wird deshalb den Umgang kommender Generation en mit Mathematik wesentlich pragen und deren Verstandnis von Wissenschaft und Technik entscheidend beeinflussen. Trotzdem nutzen zu viele Anwender ein CA-System als Black Box ohne sich fiber die Interna der Systeme und die damit verbundenen Schwachen und Starken Gedanken zu machen. Neben dem Verstandnis der den Funktionsbibliotheken zugrunde liegenden Algorithmen ist aber eine elementare Kenntnis der grund legenden Strukturen und Wirkungsweisen eines CA-Kerns die Voraussetzung zum effizienten Einsatz soIcher Systeme. Leider werden soIche technischen De tails von vielen Entwicklern und Herstellern nicht offengelegt. Trotz der heute groBen Zahl von Anwendern von CA-Systemen besteht deshalb ein Mangel an Kenntnissen fiber die technischen Grundlagen von Computeralgebra. Diesem Mangel abzuhelfen dient die Reihe MuPAD Reports. MuPAD steht als Abkfirzung fUr Multi Processing Algebra Data Tool. Um Auf gaben und Probleme neuer Dimension 16sen zu k6nnen, ist MuPAD als offenes System konzipiert und bietet die M6glichkeit der Integration und Kommuni kation verschiedener Softwareprodukte innerhalb einer Oberfiache. MuPAD ist modular aufgebaut und leicht portier bar. Das System erlaubt dem Nutzer die Schaffung eigener Datentypen und ermoglicht objektorientiertes Programmie reno Es ist eines der ersten europaischen universellen CA-Systeme. Die Ent wicklung von MuPAD versteht sich als eine Dienstleistung fUr den Forschungs bereich. Paderborn, im Oktober 1998 Benno Fuchssteiner Fur Susanne und Sonja Vorwort Als in unserer Schule der erste Computer gekauft wurde, ein Commodore CBM 32 mit 32KByte Hauptspeicher und einem Basic-Interpreter, fragte ich mich, ob man nicht mathematische Funktionen auf dem Rechner auch symbolisch ablei ten konne. Mein Mathematiklehrer war der Auffassung, so etwas sei auf einer Maschine nicht machbar. Doch ich verteidigte diese Idee beharrlich. Das war 1983. Wahrend meines Informatikstudiums an der Fridericiana in Karlsruhe bat ich nichtsahnend Herrn Professor Dr. Felix Ulmer, zu dieser Zeit noch wissenschaft licher Mitarbeiter am Institut flir Algorithmen und Kognitive Systeme bei Herrn Professor Dr. Jacques Calmet, mir bei einem Problem mit Differentialgleichun gen behilfiich zu sein. Das gab den Ausschlag, mich erneut mit symbolischem Rechnen zu beschaftigen. Als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut flir Algorithmen und Kognitive Systeme erhielt ich die Gelegenheit im Rahmen des Projektes CA 153/5-1 der Deutschen Forschungsgemeinschaft zu dem Thema "Invarianten und homo gene lineare Differentialgleichungen dritter Ordnung", die Idee aus meiner Schulzeit in etwas abgewandelter Form umzusetzen. Hieraus resultierende Ergebnisse konnen in dem vorliegenden Buch nachgelesen werden. Die wesentliche Vereinfachung der Algorithmen zum exakten Losen gewohnli cher linearer Differentialgleichungen mit dem Computer, inzwischen sogar fiber Losungsformeln, konnte dazu beitragen, in Zukunft das Losen von Differential gleichungen durch die immer grof3ere Verbreitung der Computeralgebra-Systeme sogar an Schulen zu lehren. Dies scheint nicht zuletzt schon deshalb moglich, weil bereits heute - und da stimme ich mit Herrn Prof. Dr. Harro Heuser fiberein - das Differenzieren und Integrieren genauso zu den notwendigen "Kulturtech niken" unserer Zeit zahlen wie das Lesen und Schreiben. Mein herzlicher Dank an alle, die mir bei der Entstehung dieses Buches geholfen haben. An erster Stelle danke ich Herrn Professor Dr. Jacques Calmet. Seine Sichtweise der Informatik war wesentlich flir meine Arbeit. Herrn Professor Dr. Benno Fuchssteiner gilt mein besonderer Dank fUr die gute und bereitwillige Zusammenarbeit auch fiber Institutsgrenzen hinweg. Ffir fruchtbare, intensive Diskussionen und Hinweise danke ich Herrn Professor Dr. Felix Ulmer. Ebenfalls danke ich Herrn Dr. Jacques Arthur Weil flir seine vm hilfreichen Hinweise. Herrn Professor Dr. Manuel Bronstein danke ich fur den Tip mit den vollstandig reduziblen Operatoren. Mein besonderer Dank gilt auBerdem Herrn Professor Dr. Thomas Beth, der mir gegen Ende des obigen Projektes ermoglichte, an seinem Lehrstuhl weiter zuarbeiten. Dies hat die Fertigstellung des Buches erst ermoglicht. Meinen Kollegen danke ich fur die offene, freundschaftliche Atmosphare, die zum Gelingen dieses Buches beigetragen hat. Besonderer Dank geht an die Herren Dr. Werner M. Seiler und Christoph Zenger fur viele Diskussionen und den taglichen Gedankenaustausch auf dem Weg zur Mensa. Die Implementierungen im Computeralgebra-System MuPAD konnten nur durch die sehr gute und schnelle Zusammenarbeit via Internet mit Herrn Dr. Paul Zim mermann entstehen. Herr Eckhard Pflugel hat durch seine Implementierung zur Berechnung der exponentiellen Losungen einen wesentlichen Beitrag geleistet. Mein besonderer Dank gilt allen Mitgliedern der MuPAD-Gruppe, die mir die Moglichkeit eines direkten Zugriffs auf ihre aktuellen Entwicklerversionen ga ben und mir bei Fragen und Problemen innerhalb kurzester Zeit weiterhalfen. Allen voran danke ich den Herren Ralf Hillebrand, der meine Wunsche und Vor stellungen in MuPAD eingebaut hat, Klaus Drescher fur die Diskussionen die Domains betreffend, sowie Ralf Kraume, Frank Postel, Dr. Oliver Kluge und Stefan Wehmeier. Fur das Korrekturlesen und die sprachlichen Feinheiten sei Herrn Werner Frank gedankt. Karlsruhe, im Februar 1998 Winfried Fakler Inhaltsverzeichnis 1 Einfiihrung 1 1.1 Uber Klassen von Losungsfunktionen . . . . . 4 1.2 Uber die Entwicklung algebraischer Methoden 5 1.3 Ziele und Gliederung 8 1.4 Resultate .. 11 1.5 Anmerkungen 13 2 Grundlagen 17 2.1 Begriffe aus der Gruppentheorie 17 2.2 Differential-Galoistheorie. 19 2.3 Invarianten .......... . 20 2.4 Algebraische Losungen .... . 21 2.5 Existenz von globalen Losungen 23 2.6 Anmerkungen.......... 24 3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 25 3.1 In Invarianten zerlegte Minimalpolynome ..... . 26 3.1.1 Imprimitive unimodulare Gruppen vom Grad 2 26 3.1.2 Primitive unimodulare Gruppen vom Grad 2 . 27 3.2 Kriterien zur Bestimmung der Galoisgruppe 31 3.3 Ein alternatives Verfahren . 34 3.3.1 Der imprimitive Fall 36 3.3.2 Der primitive Fall . 38 3.3.3 Der Algorithmus 41 3.4 Anmerkungen ...... . 45 4 Differentialgleichungen h6herer Ordnung 47 4.1 Lineare Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . 48 4.1.1 Schiefpolynome ................. . 48 4.1.2 Zerlegungen von linearen Differentialoperatoren 51 4.2 Methode der Variation der Konstanten . . 52 4.3 Ein allgemeines Verfahren ........ . 54 4.4 Gleichungen zweiter und dritter Ordnung . 59 x Inhaltsverzeichnis 4.5 Gleichungen mit unimodularer primitiver Galoisgruppe 62 4.6 Zerlegung von Minimalpolynomen in Invarianten . 64 4.7 Anmerkungen....................... 69 5 Spezielle Methoden fur Gleichungen dritter Ordnung 71 5.1 Primitive unimodulare Gruppen vom Grad 3 72 5.1.1 Die Valentiner Gruppe A~L3 74 5.1.2 Die einfache Gruppe A5 . 75 5.1.3 Die Gruppe A5xC3 ••.• 75 5.1.4 Die einfache Gruppe G168 77 5.1.5 Die Gruppe G168 x C3 • 78 5.1.6 Die Gruppe H~t63 79 5.1.7 Die Gruppe H~~3 ... 80 F;6 5.1.8 Die Gruppe L3 •.. 81 5.2 Eine Schranke fUr den Grad von Invarianten 83 5.3 L6sen der Differentialgleichung von Hurwitz 85 504 Anmerkungen ......... . 89 6 Zusammenfassung und Ausblick 93 6.1 Zusammenfassung. 93 6.2 Ausblick............ 100 A Implementierungen in MuPAD 101 A.1 Der LODO Domains Constructor 101 A.2 Neue Funktionen der ODE-Library 106 A.3 Berechnung liouville scher L6sungen 110 AA Anmerkungen 115 B Befehlsreferenz 117 B.l Kurzbeschreibung ausgewahlter Funktionen 117 B.2 LODO-Domains und ihre Methoden . 125 Literatur 131 Index 139 Kapitel 1 Einfiihrung Wie der Mensch durch Vervollkommnung der Technik immer mehr versucht, sich von den Fesseln frei zu machen, die ihm als Naturwesen gegeben sind, ebenso versucht er, das Ermiidende langwieriger Rechnungen oder langwieri ger zeichnerischer Aufgaben durch mehr oder weniger verwickelte Gerate, die ihm diese Arbeit abnehmen, zu vermeiden - angefangen von dem einfachen Rechenbrett bis zur komplizierten Rechenmaschine und zu dem Wunderwerk einer Maschine zur Losung von Differentialgleichungen. WALTER MEYER ZUR CAPELLEN (1941) Wahrend bereits im Jahr 1836 das Prinzip einer mechanischen Maschine zur graphischen Integration - ein sogenannter Integraph - veroffentlicht wurde, entstanden die ersten gebauten Apparate ab etwa 1875. Die komplizierteren Instrumente zur Integration gewohnlicher Differentialgleichungen - das sind die allgemeinen oder zusammengesetzten Integraphen - lieBen noch eine Weile auf sich warten. Die ersten Entwurfe fur eine Maschine zur Losung linearer Dif ferentialgleichungen zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten stammen von Lord Kelvin aus dem Jahr 1876. Doch erst ab 1910 gab es Integraphen fUr spe zielle Gleichungen erster Ordnung zu kaufen. Ein schon sehr allgemeines Gerat, das Gleichungen der Form y" = h(y') + h(Y) + Ja(x) lasen konnte, hat Knorr 1921 in seiner Dissertation entwickelt. Eine schemati sche Darstellung dieses Fahrdiagraphen ist in Abbildung 1.1 gegeben. Entlang der gezeichneten Kurven h(y'), h(y) und Ja(x) werden entsprechend Fahrstif te F1, F2 und F3 gefuhrt. Auf der Trommel T zeichnet Schreibstift 51 eine Kurve, die proportional zu y'(x) ist, und Stift 52 eine Kurve proportional zu W. Fakler, Algebraische Algorithmen zur Lösung von linearen Differentialgleichungen © B.G.Teubner Stuttgart · Leipzig 1999