WPROWADZENIE DO LOGIKI ALFRED TA R SK I PHILOMATH http://tarski.calculemus.org http://tarski.calculemus.org Alfred Tarski Wprowadzenie do logiki http://tarski.calculemus.org http://tarski.calculemus.org Alfred Tarski Wprowadzenie do logiki i do metodologii nauk dedukcyjnych Przekład z czwartej edycji angielskiej wydanej pod redakcją Jana Tarskiego Przełożyła Monika Sujczyńska http://tarski.calculemus.org Nakładem FUNDACJI NA RZECZ INFORMATYKI LOGIKI I MATEMATYKI Warszawa, 2012 Wydanie trzecie (elektroniczne, PDF), treść zgodna z wydaniem pierwszym Tytuł oryginału Introduction to Logic and to theMethodology of Deductive Sciences Oxford University Preee 1994 Fundacja na rzecz Informatyki, Logiki i Matematyki w Warszawie, jako posiadacz praw wydawniczych do polskiego tłumaczenia, nieodpłatnie udostępnia zainteresowanym elektroniczną kopię oryginału pierwszego wydania (ISBN 83-901414-2-60) umieściwszy ją w witrynie Fundacji pod adresem http://tarski.calculemu.org. Dopuszcza się kopiowanie na użytek indywidualny i na serwerach udostępniających książkę w Sieci pod warunkiem zamieszczenia informacji: „Dzieło skopiowane za zgodą Wydawcy na podstawie elektronicznego oryginału zamieszczonego pod adresem: http://tarski.calculemus.org”. Dopuszczalne jest również przekazywanie kopii na zewnętrznych nośnikach pamięci. Rozpowszechniany może być wyłącznie plik PDF w postaci oryginalnej, bez dokonywania w nim jakichkolwiek zmian. Przekazanie przez użytkownika kopii elektronicznej lub jej wydruku innemu użytkownikowi jest dopuszczalne tylko nieodpłatnie. http://tarski.calculemus.org Spis treści Z przedmów Autora do poprzednich wydań . . . . . . ix Od redaktora wydania amerykańskiego . . . . . . . . . xvii Krótki szkic biograficzny Alfreda Tarskiego . . . . . . xxi Część pierwsza. Elementy logiki. Metoda dedukcyjna I O użyciu zmiennych §1 Stałe i zmienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §2 Wyrażeniazawierającezmienne–funkcjazdaniowaifunk- cja nazwowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 §3 Konstrukcja zdań, w których występują zmienne – zdania ogólne i egzystencjalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §4 Kwantyfikatory ogólne i egzystencjalne; zmienne wolne i związane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 §5 Znaczenie zmiennych w matematyce . . . . . . . . . . . . 13 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II O rachunku zdań §6 Stałe logiczne; logika dawna i obecna . . . . . . . . . . . . 19 §7 Rachunek zdań; negacja zdania, koniunkcja i alternatywa zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 §8 Implikacje lub zdania warunkowe; implikacje w znaczeniu materialnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 §9 Użycie implikacji w matematyce . . . . . . . . . . . . . . 29 §10 Równoważność zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 §11 Zasady formułowania definicji . . . . . . . . . . . . . . . . 33 §12 Prawa rachunku zdaniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 §13 Symbolika rachunku zdań; funkcje zdaniowe złożone oraz tabelki prawdziwościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 §14 Stosowanieprawrachunkuzdańwdowodachmatematycz- nych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 §15 Reguły dowodzenia; dowody zupełne . . . . . . . . . . . . 46 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 http://tarski.calculemus.org vi III O teorii identyczności §16 Pojęcia logiczne spoza rachunku zdań; pojęcie identyczności 55 §17 Podstawowe prawa teorii identyczności . . . . . . . . . . . 56 §18 Identyczność przedmiotów i identyczność ich oznaczeń; użycie cudzysłowu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 §19 Równość w arytmetyce i w geometrii oraz jej związek z identycznością logiczną . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §20 Kwantyfikatory ilościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 IV O teorii klas §21 Klasy i ich elementy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 §22 Klasy i funkcje zdaniowe o jednej zmiennej wolnej . . . . 73 §23 Klasa pełna i klasa pusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 §24 Podstawowe relacje między klasami . . . . . . . . . . . . . 77 §25 Działania na klasach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 §26 Klasy równoliczne, liczba kardynalna klasy, klasy skoń- czone i nieskończone; arytmetyka jako część logiki. . . 83 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 V O teorii relacji §27 Relacje, ich dziedziny i przeciwdziedziny; relacje i funkcje zdaniowe z dwiema zmiennymi wolnymi . . . . . . . . 91 §28 Algebra relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 §29 Kilka rodzajów relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 §30 Relacje zwrotne, symetryczne oraz przechodnie . . . . . . 99 §31 Relacje porządkujące; przykłady innych relacji . . . . . . 101 §32 Relacje jednoznaczne czyli funkcje . . . . . . . . . . . . . 103 §33 Relacje wzajemnie jednoznaczne lub funkcje odwracalne oraz odpowiedniość doskonała . . . . . . . . . . . . . . 108 §34 Relacje wieloczłonowe; funkcje kilku zmiennych i działania 111 §35 Znaczenie logiki dla innych nauk . . . . . . . . . . . . . . 113 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 VI O metodzie dedukcyjnej §36 Podstawowe składowe nauki dedukcyjnej – terminy pier- wotne i zdefiniowane, aksjomaty i twierdzenia . . . . . 123 §37 Modele i interpretacje nauki dedukcyjnej . . . . . . . . . . 126 §38 Prawo dedukcji; formalny charakter nauk dedukcyjnych . 131 http://tarski.calculemus.org vii §39 Wybór aksjomatów i terminów pierwotnych; ich niezależność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 §40 Formalizacja definicji i dowodów, sformalizowane nauki dedukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 §41 Niesprzeczność i zupełność nauki dedukcyjnej; zagadnie- nie rozstrzygalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 §42 Rozszerzone pojęcie metodologii nauk dedukcyjnych . . . 145 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Część druga. Zastosowania logiki i metodologii w konstruowaniu teorii matematycznych VII Konstrukcja teorii matematycznej: prawa uporządkowania liczb §43 Terminy pierwotne konstruowanej teorii; aksjomaty, które dotyczą podstawowych relacji między liczbami . . . . 165 §44 Prawa przeciwzwrotności dla podstawowych relacji; do- wody nie wprost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 §45 Dalsze twierdzenia o podstawowych relacjach między licz- bami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 §46 Inne relacje między liczbami . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 VIIIKonstrukcja teorii matematycznej: prawa dodawania i odejmowania §47 Aksjomaty dotyczące dodawania; ogólne własności dzia- łań, pojęcie grupy i grupy abelowej . . . . . . . . . . . 181 §48 Prawa przemienności i łączności dla większej liczby skład- ników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 §49 Prawamonotonicznościdladodawania i ich odwrócenia . . 184 §50 Zamknięte systemy zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 §51 Kilka wniosków z praw monotoniczności . . . . . . . . . . 192 §52 Definicja odejmowania; działania odwrotne . . . . . . . . 195 §53 Definicje, których definiendum zawiera znak identyczności 196 §54 Twierdzenia o odejmowaniu . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 http://tarski.calculemus.org viii IX Rozważania metodologiczne dotyczące skonstruowanej teorii §55 Eliminacja zbytecznych aksjomatów z pierwotnego sys- temu aksjomatycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 §56 Niezależność aksjomatów systemu uproszczonego . . . . . 210 §57 Eliminacja zbytecznego terminu pierwotnego prowadząca do uproszczenia systemu aksjomatycznego; pojęcie grupy abelowej uporządkowanej . . . . . . . . . . . . . 213 §58 Dalsze uproszczenie systemu aksjomatycznego; możliwe przekształcenia systemu terminów pierwotnych . . . . 216 §59 Zagadnienie niesprzeczności skonstruowanej teorii . . . . . 222 §60 Zagadnienie zupełności skonstruowanej teorii . . . . . . . 223 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 X Rozszerzenie skonstruowanej teorii: podstawy arytmetyki liczb rzeczywistych §61 Pierwszy system aksjomatyczny dla arytmetyki liczb rze- czywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 §62 Bliższa charakterystyka pierwszego systemu aksjomatycz- nego; jego metodologiczne zalety i dydaktyczne braki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 §63 Drugi system aksjomatyczny dla arytmetyki liczb rzeczy- wistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 §64 Bliższa charakterystyka drugiego systemu aksjomatycz- nego; pojęcie ciała liczb i ciała uporządkowanego liczb 236 §65 Równoważność obu systemów aksjomatycznych; metodo- logiczne braki i dydaktyczne zalety drugiego systemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Posłowie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 http://tarski.calculemus.org