3 0 0 A propos de la onje ture de Nash 2 n a Camille Plénat J 0 3 8 février 2008 ] G Résumé A Cet arti le a pour objet le problème des ar s de Nash, selon lequel il U . h y aurait autant de familles d'ar s sur un germe de surfa e singulier que t de omposantes essentielles d'une désingularisation de ette singularité. Soit a H = SN α m une dé omposition parti ulière de l'espa e des ar s, dé rite plus [ avant. On propose deux nouvelles onditions su(cid:30)santes permettant d'a(cid:30)rmer Nα 6⊂ Nβ α6= β que , ;plus pré isemment,pour la première, on montre que, s'il 1 U ord (f)< ord (f) v existe une fon tion f dans l'anneau lo al de telle que Eα Eβ , E , E 8 où α β sont des diviseurs issus de la désingularisation minimale, alors 5 Nα 6⊂ Nβ 3 .La deuxième ondition, utilisée d(aSn,ss)le a(dSre′,sd′')une singularité ra- 1 tionnelle de surfa e, est la suivante : soit et deux singularités 0 3 rationneπlles d(eS,ssu)rfa e (tSel′l,ess′)qu'il existe unEαm,orEpβhisme dominant et bira- 0 tionnel de sur ;al(oSr,ss,)soient deux diviseπurEs ′issusEd′e / la désingularisation minimale de tels que leurs images par , α et β, h (S′,s′) N′(S′,s′) 6⊂ N′(S′,s′) t sont des diviseurs ex eptionnels pour ; si α β alors a N (S,s) 6⊂ N (S,s) m α β . Ces onditions, ertes très simples, nous permettent de : prouver assez dire tement la onje ture pour les singularités rationnelles min- v i imales de surfa e (en utilisant onjointement la dé omposition des singularités X rationnelles minimales de surfa e en singularités à quotient y lique de type A r n a ). Une preuve de la onje ture pour es singularités a déjà été donnée par Ana Reguera dans [REG℄. Introdu tion L'objet de e texte est d'énon er deux nouvelles onditions su(cid:30)santes pour pouvoir a(cid:30)rmer que les adhéren es de deux familles d'ar s sur une singularité asso iées à deux diviseurs ex eptionnels d'une désingularisation ne sont pas in luses l'une dans l'autre. Pour les singularités rationnelles de surfa e, la première ondition que je vais énon er est équivalente à elle donnée par Ana Reguera dans [REG℄. Comme appli ations dire tes, nous allons tout d'abord dé(cid:28)nir une relation binaire sur les diviseurs ex eptionnels (qui sera un ordre partiel pour les singularités rationnelles) et don identi(cid:28)er les familles (cid:16)à problèmes(cid:17), puis nous allons donner une preuve très 1 simple qu'une réponse a(cid:30)rmative peut être donnée au problème de Nash pour les singularités minimales de surfa e, résultat déjà a quis par Ana Reguera ( fREG) : dans un premier temps nous démontrons la onje ture pour les singularités quotient A n y lique de type en appliquant la première ondition, puis nous re ourons à la dé omposition des singularités minimales en singularités quotient y lique de type A n ( f. [SPI 1℄)ainsi qu'à la deuxième ondition, a(cid:28)n de prouver la onje ture pour es singularités. Remarque :la dé omposition des singularités minimales de surfa e en singular- A n ités quotient y lique de type est un as parti ulier de la dé omposition des singularités sandwi hs en singularités primitives. Cette nouvelle démonstration de la onje ture pour les singularités minimales nous donne un espoir de prouver un jour la onje ture pour les singularités sandwi hs, sous réserve de la prouver pour les primitives. Je tiens à remer ier i i mon dire teur de thèse, Mark Spivakovsky, qui m'a on- stamment guidée dans l'élaboration de et arti le (et mes amarades du laboratoire Emile Pi ard dont l'aide a été pré ieuse pour sa mise en forme). 1 Rappels et de(cid:28)nitions Dans ette se tion on rappellera les dé(cid:28)nitions ayant trait à la onje ture de Nash ainsi que la onje ture elle(cid:21)même. 1.1 La onje ture de Nash Cette onje ture on erne la famille des ourbes formelles passant par une singular- ité et les omposantes ex eptionnelles d'une désingularisation de ette singularité. La onje ture a été énon ée en toute généralité, bien que nous ne l'énon erons i i que pour les singularités de surfa es. Avant d'énon er la onje ture, rappelons quelques dé(cid:28)nitions : Dé(cid:28)nition 1. Ar U Un ar sur un germe est une ourbe formelle paramétrisée, i.e. un k(cid:21)morphisme φ : (spec k[[t]],0) −→ (S,U) O −→ U , ou, de manière équivalente, un k(cid:21)morphisme k[[t]] . 2 (S,s) Soit une singularité isolée de surfa e. φ Z(φ) = sC C Dé(cid:28)nition 2. On dé(cid:28)nit l'image d'un ar omme étant où est le φ(spec k[[t]]) C C s diviseur de Weil dé(cid:28)ni par , et si est la normalisation de , alors (spec k[[t]],0) −→(C,P) est l'indi e de rami(cid:28) ation du morphisme . H U Dé(cid:28)nition 3. Soit l'ensemble des ar s du germe singulier . C'est une variété algébrique de dimension in(cid:28)nie. H Quels sont les ouverts sur ? Ils sont dé(cid:28)nis par un nombre (cid:28)ni d'inéquations sur un nombre (cid:28)ni de oe(cid:30) ients des séries entières formelles dé(cid:28)nissant les ar s. H A n ( f.infra se tion 2.1 pour un al ul expli ite de pour les singularités ). (S,s) (X ,{E } ) −→ (S,s) Soit de nouveau une singularité. Soient 0 α (α) une désin- (S,s) {E } α (α) gularisation de la singularité , et l'ensemble des omposantes ex ep- tionnelles asso iées à la désingularisation. H La onje ture de Nash onsiste à omparer les omposantes irrédu tibles de et les {E } α (α) omposantes ; plus exa tement, dans le as des surfa es : Conje ture 1. (Nash) Il y a autant de ourbes ex eptionnelles dans la désingularisation minimaled'une (S,s) H singularité de surfa e que de omposantes irrédu tibles de . Ces omposantes irrédu tibles sont aussi appelées familles d'ar s de Nash. En as- so iant à haque famille d'ar s un diviseur ex eptionnel, Nash, dans [NASH℄, a montré que le nombre de familles est majorée par le nombre de omposantes ex ep- tionnelles. H Considérons la dé omposition de suivante : N E α α soit la famille d'ar s tels que leur transformée stri te est transverse à et n'in- terse te pas les autres omposantes ex eptionnelles; es familles sont des ensembles H H = SN α irrédu tibles de et ;remarquons qu'il y a déjà dans ette dé omposition α,γ autant de famillesque de diviseurs, ilnous su(cid:30)t don de prouver que pour tout , N 6⊂ N α γ on a . Pour de plus amples expli ations, voir l'arti le d'Ana Reguera [REG℄. 1.2 Quelques rappels sur les singularités Pour plus de ohéren e, on rappellera dans e paragraphe les dé(cid:28)nitions A n des singularitésprimitives,minimales,quotient y lique de type ,sandwi hs, et la dé omposition de es dernières en joint birationnel; pour une théorie plus omplète 3 ainsi que pour toutes les dé(cid:28)nitions, on renvoie le le teur aux arti les de Mark Spi- vakovsky ( f.[SPI 1,première partie℄ et [SPI 2℄). De plus on ne donne les dé(cid:28)nitions qu'en (cid:16)fon tion(cid:17) des graphes ar les démonstrations sont esentiellement basées sur la nature de es graphes. Rappel : quand on désingularise une singularité rationnelle normale de surfa e, des ourbes ex eptionnelles apparaissent et forment un graphe onnexe sans y le. Mais on n'étudie pas es graphes là, on préfère regarder les graphes duaux, 'est(cid:21) à(cid:21)dire eux qui asso ient à haque point une ourbe ex eptionnelle, haque arête représentant alors l'interse tion entre deux ourbes. Les poids que l'on asso iera à une ourbe sont moins le nombre d'autointerse tion de ette ourbe ave elle(cid:21)même.(voir (cid:28)g.1) Fig. 1 (cid:21) exemple : en haut, graphe ave les omposantes; en dessous, graphe dual A n asso ié (singularité de type ) Remarque : omme on ne va onsidérer que les désingularisations minimales, les poids seront supérieurs ou égaux à 2 (sauf pour les graphes non singuliers, i.e. issus de la désingularisation d'un point non singulier). Dé(cid:28)nition 4. Graphe sandwi h Un graphe est dit sandwi h s'il existe un graphe non singulier le ontenant omme sous(cid:21)graphe pondéré; une singularité sera dite sandwi h si son graphe dual de réso- lution est sandwi h. Dé(cid:28)nitionΓ5. Graphe primitif Γ∗ UΓn⊂gΓra∗phe#(Γ o∗\nΓn)e=xe1est dit primitif s'il existe un graphe non singulier tel que et . Une singularité sera dite primitive si son graphe dual de résolution est primitif. 4 Dé(cid:28)nition 6. Graphe minimal ω(x) > γ(x) Un graphe pondéré est dit minimal si pour tout x sommet du graphe , ω(x) x γ(x) où est le poids en et est le nombre d'arêtes atta hées à x. Une singularité est dite minimale si son graphe dual de résolution est minimal, en d'autres termes la singularité est minimale si dans sa désingularisation minimale toutes les ourbes ex eptionnelles sont rationnelles, s'interse tent transversalement et le graphe dual est simplement onnexe et minimal. Remarque : ela équivaut à dire que la singularité est rationnelle et que son y le fondamental est réduit. A n Dé(cid:28)nition 7. Singularité quotient y lique de type A n Par on désigne les singularités quotient y lique dont les poids à haque sommet zn+1 = xy du graphedual valent2. Cesontdessingularitésdesurfa ed'équations ( ); leur graphe dual de résolution est : 2 2 2 2 2 2 2 A n Fig. 2 (cid:21) graphe dual d'une singularité de type On appellera e genre de graphe un graphe (cid:16)en bambou(cid:17). Dé(cid:28)nition 8. Joint birationnel Z ,Z 1 2 Soit deux variétes algébriques irrédu tibles et réduites ave le même orps de φ : Z ↔ Z 1 2 fon tion K. Soit la orrespondan e birationnelle entre es deux variétés. U U φ U 1 2 1 Alors il existe deux ouverts et tels que induit un isomorphisme entre et U U U ×U 2 1 1 2 . Soit U l' image de dans par le morphisme diagonal où on identi(cid:28)e U U φ Z Z 1 2 1 2 ave par . Alors le joint birationnel Z de ave est dé(cid:28)ni omme étant Z ×Z 1 2 la fermeture de U dans . A n Les singularités minimales sont sandwi hs, les quotients y liques de type sont des primitives,lesquelles sont elles(cid:21)mêmessandwi hs. On peut regarder les singular- itéssandwi hs(resp.minimales) ommelejointbirationneldesingularitésprimitives A n (resp. à quotient y lique de type ). Remarque : Dans les faits on regardera les dé ompositions en joint birationnel A n des singularités sandwi hs en singularités primitives et des minimales en (cid:16) (cid:17) au 5 niveau des graphes. Nous verrons dans la preuve de la onje ture pour les singu- larités minimales omment dans la pratique on peut dé omposer les graphes des A n minimales en graphe de singularités . A n Lemme 2. Les singularités sont des singularités sandwi hs. A n Démonstration. Le graphe de la singularité est ontenu dans un graphe non < singulier, omme le montre la(cid:28)gure i(cid:21)dessous : (le signe veut dire i i (cid:16)est ontenu dans(cid:17)) 2 2 2 2 2 < 2 2 2 2 2 1 A n Don par dé(cid:28)nition d'une singularité sandwi h, une singularité de type est une singularité sandwi h. 2 Première ondition su(cid:30)sante et résolution de la A n onje ture pour les singularités de type Dans un premiertemps,nousénon erons une onditionsu(cid:30)sante annon ée pourque N (S) 6⊂ N (S) i j pour une singularité quel onque, puis on appliquera ette ondition A n aux singularités de type . 2.1 Condition su(cid:30)sante S U ⊂ S p : X → S Dé(cid:28)nition 9. Soit une variété singulière, ouvert a(cid:30)ne. Soient S E S i unepd−é1s(iUng)u∩laErisation de et un diviseur issu de la désingularisation de tel i que est non vide. f ∈ O f E ord (f) Soift∗ = p∗(Uf.)O=nµdéE(cid:28)n+it(lf'o′)rdre de (fs′)ur le diviseurEi, noté Ei , omme suit : i i i si (ave n'ayant pas omme omposante) on note µ = ord (f) i Ei . S U ⊂ S p : X → S Lemme 3. Soit une variété singulière, ouvert a(cid:30)ne. Soient S E E S i j unepd−é1s(inUg)u∩larEisation de , , diviseurs issus de la désingularisation de tels k que est non vide. f ∈ O ord (f) < ord (f) N (S) 6⊂ N (S) S'il existe U telle que Ei Ej , alors i j . 6 f ∈ O ord (f) < ord (f) φ Dorédm(oφn(sft)r)at=ionZ.(φS)o.i(tf) = Z(Uφ)t′e.(llfe∗)que Ei Ej . AlorsZ,(sφi)′ est un ar , t ( f. [REG℄) (on désigne par la transfor- Z(φ) p mée stri te de f∗p=ar p∗)(.f) = µ E + (f′) ord (φ(f)) = i i t DµoEn .Z, (sφi )o′n+(nfo′)t.eZ(φ)′ φ = φ ∈ N omme pré édem(mfe′)nt, (f′).Z(φ)′ = i i i i 0 et µiEi.Z(φ)′ = µi, d.oPnr en(cid:28)onnaslement ordt(φn(efr)e)n= oµnitr=anotrpdaEsi(f).,alors ord (f) < ord (f) φ ∈ N φ ∈ N Par( fo′n)séquent si Ei Ej , pour tout i i et j j ne ren ontrant pas ord (φ (f)) < ord (φ (f)) t i t j (1) φ (f) φ k k Les oe(cid:30) ients de sont despolynmesenles oe(cid:30) ientsde .Don l'inégalité (1) φ φ i j donneuneinéquationsurles oe(cid:30) ientsde queles oe(cid:30) ientsde nevéri(cid:28)ent µ me N 6⊂ N i i j pas (le oe(cid:30) ient est non nul). Alors . N ⊂ N φ ∈ N V φ i j i i k i En e(cid:27)et si , prenons , alors, pour tout ouvert voisinage de V ∩N 6= ∅ V φ k j k i . Soit dé(cid:28)ni par l' inéquation i(cid:21)dessus, 'est un voisinage de mais N =><= j il n'interse te pas . . 2.2 Première appli ation : instauration d'une relation binaire sur les diviseurs ex eptionnels Le ritère pré édent nous permet d'instaurer une relation binaire transitive sur l'ensemble des diviseurs ex eptionnels de la désingularisation minimale d'une sin- gularité de surfa e quel onque (qui sera un ordre partiel pour les singularités ra- tionnelles). Cela se fait de la manière suivante : E E i j soient et deux diviseurs ex eptionnels. Alors : ord (f) < ord (f) (cid:21) s'ilexiste fet g dans l'anneau lo alde lasingularitételles que Ei Ej ord (g) < ord (g) E E et Ej Ei , on dira que i et j sont in omparables; ord (f) 6 ord (f) (cid:21) sinon pour tout f de l'anneau lo al on a Ei Ej . Si les ordres sont égaux pour tout f, le ritère su(cid:30)sant ne donne au une information. S'il existe un E < E i j f telle que l'inégalité est stri te, alors on dira que Remarque :Dans le as des singularités rationnelles, il est impossible d'avoir égal- ord (f) ord (f) ité des ordres Ei et Ej pour tout f. En e(cid:27)et, la matri e d'interse - tion est dé(cid:28)nie négative, don non singulière. Don il existe un y le ex eptionnel P m E = B B.E 6 0 m 6= m i i i tel que k pour tout k et i j. Par le théorème de Artin, ord (f) = m ord (f) = m il existe f telle que Ei i et Ej j. 7 Cela nous permet d'identi(cid:28)er fa ilement (on est ramené à de l'algèbre linéaire) les famillesde ourbes pour lesquelles la onje ture est vérifée (et don aussi elles pour lesquelles la onje ture n'est pas en ore vérifée); en e(cid:27)et : E E N 6⊂ N N 6⊂ N i j i j j i - si et sont in omparables alors et ; E < E N 6⊂ N i j i j - si alors ; mais on ne peut on lure pour la ré iproque. E = E i j - si , on ne peut on lure dans au un sens. On peut s hématiser et ordre partiel sur un graphe dont nous allons donner un E z2 +y3 +x4 = 0 6 premier exemple, la singularité donnée par l'équation : 2 E6 2 3 2 2 2 2 2 E5 E4 E3 E2 E1 1 2 3 2 1 2 4 6 4 2 (x) (z) 2 2 2 2 3 4 3 2 3 5 6 4 2 2 4 6 5 3 (y) (x2 +iz) (x2-iz) E (x),(y),(Z),(x2 + 6 Fig. 3 (cid:21) Graphe dual de et représentations des diviseurs iz),(x2 −iz) Enappliquantla onditionsu(cid:30)santepré édente, onobtientles hémasuivantreprésen- tant les ordres partiels entre les diviseurs : 8 E1 E2 E5 E3 E4 E6 Fig. 4 (cid:21) S héma des ordres partiels E Ei E i j (Quand deux sont reliés par un trait, ave à droite et à gau he, ela signi(cid:28)e E < E i j que , de plus (cid:16)l'ordre partiel(cid:17) est transitif de la droite vers la gau he; quand ils ne sont pas reliées, ela veut dire qu il n'y a pas de relation et don que les E 6 familles asso iées sont non in luses l'une dans l'autre). Dans le as de , on a don N 6⊂ N i 6= 1 N 6⊂ N i 6= 5 N 6⊂ N 1 i 5 i 6 i les résultats suivants : pour , pour , pour i 6= 6 N 6⊂ N j = 4,3 N 6⊂ N j = 2,3 2 j i j , pour , pour , et il reste à prouver les autres non in lusions. A n 2.3 Deuxième appli ation : le as des A zn+1 = xy E n k est la singularité d'équation ( ). On note les omme i(cid:21)dessous : E1 E2 En i < j Soit . f = x ord (f) = i ord (f) = j Soit . Alors Ei et Ej . N 6⊂ N i j Don , par la ondition su(cid:30)sante, . g = y ord (f) = n−i+1 ord (f) = n−j +1 De même, si , Ei et Ej . N 6⊂ N j i Don , toujours en appliquant la ondition su(cid:30)sante. i,j Et e pour tout . La onje ture est prouvée pour les singularités quotients y liques de A n type 9 A n Remarque : Dans le as des singularités de type , il est fa ile de al uler les familles d'ar s dire tement et de démontrer qu'elles ne sont pas in luses les unes danslesautres.C'estd'ailleurslerpemierexempletraitéparNashdanssonpreprint [NASH℄. Nous souhaitons ependant rappeler e résultat. A n Considérons leplongement de dans une variété non singulièrede dimension3, i.e. k[[x,y,z]] →O l'appli ation surje tive AN,0. Alors, les ar s sont dé rits par des séries (x(t),y(t),z(t)) = (a t+...,b t+...,c t+...) 1 1 1 entières : ; de plus, on ne onsidère que les ar s tels que leur transformée stri te interse te transversalement une des ourbes z = 0 ex eptionnelles et n'interse te pas les autres omposantes ex eptionnelles; or est l'équation lo ale de ha une des omposantes ex eptionnelles dans son point zn+1 = xy générique (on le voit en é latant (cid:16)à la main(cid:17) la singularité d'équation ( )); c 1 ela implique queNle premier oye(cid:30)= zienn+1t de la troisième série est non nul sur ha- une des variétés i. De plus, x , e qui implique que les familles de ourbes sont : N = (a t+a t2 +...,b tn +...,c t+...),avec cn+1 = b a ,... 1 1 2 n 1 1 n 1 N = (a t2 +...,b tn−1 +...,c t+...),avec cn+1 = b a ,... 2 2 n−1 1 1 n−1 2 . . . N = (a tn +...,b t+b t2 +...,c t+...),avec cn+1 = b a ,... n n 1 2 1 1 1 n Les adhéren es de es familles de ourbes formelles (pour la topologie de Zariski) sont non in luses les uni,esj d∈aNns les aiut<rejs6: n N (A ) ⊂ N (A ) i n j n Suppfos∈onNs q(Au'il)efxis=te(a ti +...,abve tn−i+1 +t.e..l,scqtu+e ...) . i n i n−i+1 1 Soit , . f ∈ N (A ) j n Alors, , i.e. tout ouvert voisinage de f dans l'espa e des ar s interse te N (A ) j n . V f Pour trouver une ontradi tion, il nous faut trouver un voisinage de f tel qu'il N (A ) V = {(x(t),y(t),z(t)) ∈ H/a 6= 0} j n f i n'interse te pas . Soit ; 'est un voisinage φ ∈ V f de f; pour tout , le ième oe(cid:30) ient de la première série entière est non nul, N (A ) i < j j n alors que tous les éléments de ont la ième oordonnée nulle (i i ). V N (A ) =><= f j n Don ne ren ontre pas . i,j N (A ) 6⊂ N (A ) n i n j n Don pour tout on a , i.e. on a familles d'ar s, dites de Nash . 10